Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgre Unicode version

Theorem caucvgre 9808
 Description: Convergence of real sequences. A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within of the nth term. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f
caucvgre.cau
Assertion
Ref Expression
caucvgre
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem caucvgre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfnn2 7992 . . . 4
2 caucvgre.f . . . 4
3 caucvgre.cau . . . . 5
42, 3caucvgrelemcau 9807 . . . 4
51, 2, 4ax-caucvg 7062 . . 3
6 ralrp 8702 . . . . 5
7 0re 7085 . . . . . . . 8
8 ltxrlt 7144 . . . . . . . 8
97, 8mpan 408 . . . . . . 7
109imbi1d 224 . . . . . 6
1110ralbiia 2355 . . . . 5
126, 11bitri 177 . . . 4
1312rexbii 2348 . . 3
145, 13sylibr 141 . 2
15 simpr 107 . . . . . . . . . 10
1615peano2nnd 8005 . . . . . . . . 9
17 uznnssnn 8616 . . . . . . . . 9
18 ssralv 3032 . . . . . . . . 9
1916, 17, 183syl 17 . . . . . . . 8
20 eluznn 8634 . . . . . . . . . . . . . 14
2116, 20sylan 271 . . . . . . . . . . . . 13
22 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2322peano2nnd 8005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423nnzd 8418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 eluz1 8573 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726biimpd 136 . . . . . . . . . . . . . 14
2827impancom 251 . . . . . . . . . . . . 13
2921, 28mpd 13 . . . . . . . . . . . 12
3029simprd 111 . . . . . . . . . . 11
31 nnre 7997 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231ad2antlr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433nnred 8003 . . . . . . . . . . . . . 14
35 1re 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 ltadd1 7498 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36mp3an3 1232 . . . . . . . . . . . . . 14
3832, 34, 37syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13
39 nnleltp1 8361 . . . . . . . . . . . . . 14
4023, 33, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 40bitr4d 184 . . . . . . . . . . . 12
4221, 41syldan 270 . . . . . . . . . . 11
4330, 42mpbird 160 . . . . . . . . . 10
44 nnre 7997 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 ltxrlt 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15
4631, 44, 45syl2an 277 . . . . . . . . . . . . . 14
4746adantll 453 . . . . . . . . . . . . 13
482ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948, 33ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 rpre 8687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352ad3antlr 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5451, 53readdcld 7114 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ltxrlt 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15
5649, 54, 55syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14
5749, 53readdcld 7114 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 ltxrlt 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15
5951, 57, 58syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14
6056, 59anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . 13
6147, 60imbi12d 227 . . . . . . . . . . . 12
6261biimprd 151 . . . . . . . . . . 11
6321, 62syldan 270 . . . . . . . . . 10
6443, 63mpid 41 . . . . . . . . 9
6564ralimdva 2404 . . . . . . . 8
6619, 65syld 44 . . . . . . 7
67 fveq2 5206 . . . . . . . . . 10
6867breq1d 3802 . . . . . . . . 9
6967oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10
7069breq2d 3804 . . . . . . . . 9
7168, 70anbi12d 450 . . . . . . . 8
7271cbvralv 2550 . . . . . . 7
7366, 72syl6ib 154 . . . . . 6
7473reximdva 2438 . . . . 5
75 fveq2 5206 . . . . . . . . . 10
7675raleqdv 2528 . . . . . . . . 9
7776rspcev 2673 . . . . . . . 8
7816, 77sylan 271 . . . . . . 7
7978ex 112 . . . . . 6
8079rexlimdva 2450 . . . . 5
8174, 80syld 44 . . . 4
8281ralimdva 2404 . . 3
8382reximdva 2438 . 2
8414, 83mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 101   wb 102   wceq 1259   wcel 1409  wral 2323  wrex 2324   wss 2945   class class class wbr 3792  wf 4926  cfv 4930  (class class class)co 5540  cr 6946  cc0 6947  c1 6948   caddc 6950   cltrr 6951   clt 7119   cle 7120   cdiv 7725  cn 7990  cz 8302  cuz 8569  crp 8681 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-caucvg 7062 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9812
 Copyright terms: Public domain W3C validator