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Theorem caucvgrelemcau 9807
Description: Lemma for caucvgre 9808. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
caucvgre.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, n    ph, k, n    k, r, n
Allowed substitution hints:    ph( r)    F( r)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
21nnred 8003 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
3 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
43nnred 8003 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
5 ltle 7164 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( n  <  k  ->  n  <_  k )
)
62, 4, 5syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  ->  n  <_  k ) )
7 eluznn 8634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
87ex 112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  k  e.  NN ) )
9 nnz 8321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
10 eluz1 8573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  n  <_ 
k ) ) )
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  ZZ  /\  n  <_ 
k ) ) )
12 simpr 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  n  <_  k )  ->  n  <_  k )
1311, 12syl6bi 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  n  <_  k ) )
148, 13jcad 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) ) )
15 nnz 8321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
1615anim1i 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  <_  k )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  n  <_  k )
)
1716, 11syl5ibr 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  n  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
1814, 17impbid 124 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( k  e.  NN  /\  n  <_ 
k ) ) )
1918adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( k  e.  NN  /\  n  <_ 
k ) ) )
2019biimpar 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  n ) )
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2221r19.21bi 2424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2322r19.21bi 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2420, 23syldan 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
k  e.  NN  /\  n  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2524expr 361 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <_  k  ->  ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
266, 25syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  ->  ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
27 ltxrlt 7144 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( n  <  k  <->  n 
<RR  k ) )
282, 4, 27syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <  k  <->  n  <RR  k ) )
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
3029ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> RR )
3130, 1ffvelrnd 5331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3230, 3ffvelrnd 5331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
331nnrecred 8036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3432, 33readdcld 7114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
35 ltxrlt 7144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
37 nnap0 8019 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n #  0 )
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  n #  0 )
39 caucvgrelemrec 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  RR  /\  n #  0 )  ->  ( iota_ r  e.  RR  (
n  x.  r )  =  1 )  =  ( 1  /  n
) )
402, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( iota_ r  e.  RR  (
n  x.  r )  =  1 )  =  ( 1  /  n
) )
4140oveq2d 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  =  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) )
4241breq2d 3804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4336, 42bitr4d 184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <RR  ( ( F `  k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) )
4431, 33readdcld 7114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
45 ltxrlt 7144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( F `
 k )  < 
( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4632, 44, 45syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4740oveq2d 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  =  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) )
4847breq2d 3804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <RR  ( ( F `
 n )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4946, 48bitr4d 184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( 1  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <RR  ( ( F `  n )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) )
5043, 49anbi12d 450 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 n )  <RR  ( ( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k ) 
<RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
5126, 28, 503imtr3d 195 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
5251ralrimiva 2409 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( n  <RR  k  ->  ( ( F `
 n )  <RR  ( ( F `  k
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) )  /\  ( F `  k ) 
<RR  ( ( F `  n )  +  (
iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) ) ) ) )
5352ralrimiva 2409 1  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  NN  (
n  <RR  k  ->  (
( F `  n
)  <RR  ( ( F `
 k )  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r
)  =  1 ) )  /\  ( F `
 k )  <RR  ( ( F `  n
)  +  ( iota_ r  e.  RR  ( n  x.  r )  =  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792   -->wf 4926   ` cfv 4930   iota_crio 5495  (class class class)co 5540   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    <RR cltrr 6951    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120   # cap 7646    / cdiv 7725   NNcn 7990   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  caucvgre  9808
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