Theorem caucvgsrlemasr 7064

Description: Lemma for caucvgsr 7076. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 7013	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4439	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 110	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2431	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 6603	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2624	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3349	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 132	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3806   ` cfv 4953   1oc1o 6079   N.cnpi 6560   R.cnr 6585   <R cltr 6591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-1o 6086  df-ni 6592  df-ltr 7005

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7070  caucvgsrlemofff  7071  caucvgsrlemoffcau  7072  caucvgsrlemoffgt1  7073  caucvgsrlemoffres  7074