ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr Unicode version

Theorem caucvgsrlemasr 7064
Description: Lemma for caucvgsr 7076. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Distinct variable group:    A, m
Allowed substitution hints:    ph( m)    F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
2 ltrelsr 7013 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4439 . . . . 5  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  ( A  e.  R.  /\  ( F `
 m )  e. 
R. ) )
43simpld 110 . . . 4  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  A  e.  R. )
54ralimi 2431 . . 3  |-  ( A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m
)  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
61, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
7 1pi 6603 . . 3  |-  1o  e.  N.
8 elex2 2624 . . 3  |-  ( 1o  e.  N.  ->  E. x  x  e.  N. )
9 r19.3rmv 3349 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  N.  ->  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. ) )
107, 8, 9mp2b 8 . 2  |-  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
116, 10sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3806   ` cfv 4953   1oc1o 6079   N.cnpi 6560   R.cnr 6585    <R cltr 6591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-1o 6086  df-ni 6592  df-ltr 7005
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7070  caucvgsrlemofff  7071  caucvgsrlemoffcau  7072  caucvgsrlemoffgt1  7073  caucvgsrlemoffres  7074
  Copyright terms: Public domain W3C validator