ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemfv Unicode version

Theorem caucvgsrlemfv 7018
Description: Lemma for caucvgsr 7029. Coercing sequence value from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlemf.xfr  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemfv  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    A, m    x, A, y    m, F    x, F, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y, u, k, m, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, n, l)    G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemfv
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemf.xfr . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) )
3 fveq2 5203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
43eqeq1d 2090 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
54riotabidv 5495 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
65adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  N. )  /\  x  =  A )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
7 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  A  e. 
N. )
8 caucvgsr.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
9 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
108, 9caucvgsrlemcl 7016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
112, 6, 7, 10fvmptd 5279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( G `
 A )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
1211oveq1d 5552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( ( G `  A )  +P.  1P )  =  ( ( iota_ y  e. 
P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) )
1312opeq1d 3578 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  <. (
( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. )
1413eceq1d 6201 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
15 eqcom 2084 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
1615a1i 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( F `  A
)  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) ) )
1716riotabiia 5510 . . . . 5  |-  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
1817oveq1i 5547 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P )  =  ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P )
1918opeq1i 3575 . . 3  |-  <. (
( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >.
20 eceq1 6200 . . 3  |-  ( <.
( ( iota_ y  e. 
P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >.  ->  [ <. (
( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e. 
P.  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
2119, 20mp1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e. 
P.  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
228ffvelrnda 5328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( F `
 A )  e. 
R. )
23 0lt1sr 6993 . . . 4  |-  0R  <R  1R
24 fveq2 5203 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  ( F `  m )  =  ( F `  A ) )
2524breq2d 3799 . . . . . 6  |-  ( m  =  A  ->  ( 1R  <R  ( F `  m )  <->  1R  <R  ( F `  A )
) )
2625rspcv 2698 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m )  ->  1R  <R  ( F `  A
) ) )
279, 26mpan9 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  1R  <R  ( F `  A ) )
28 ltsosr 6992 . . . . 5  |-  <R  Or  R.
29 ltrelsr 6966 . . . . 5  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
3028, 29sotri 4744 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  1R  /\  1R  <R  ( F `  A
) )  ->  0R  <R  ( F `  A
) )
3123, 27, 30sylancr 405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  0R  <R  ( F `  A ) )
32 prsrriota 7015 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R.  /\  0R  <R  ( F `  A ) )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
3322, 31, 32syl2anc 403 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
3414, 21, 333eqtrd 2118 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   <.cop 3403   class class class wbr 3787    |-> cmpt 3841   -->wf 4922   ` cfv 4926   iota_crio 5492  (class class class)co 5537   1oc1o 6052   [cec 6163   N.cnpi 6513    <N clti 6516    ~Q ceq 6520   *Qcrq 6525    <Q cltq 6526   P.cnp 6532   1Pc1p 6533    +P. cpp 6534    ~R cer 6537   R.cnr 6538   0Rc0r 6539   1Rc1r 6540    +R cplr 6542    <R cltr 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-eprel 4046  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 6013  df-1o 6059  df-2o 6060  df-oadd 6063  df-omul 6064  df-er 6165  df-ec 6167  df-qs 6171  df-ni 6545  df-pli 6546  df-mi 6547  df-lti 6548  df-plpq 6585  df-mpq 6586  df-enq 6588  df-nqqs 6589  df-plqqs 6590  df-mqqs 6591  df-1nqqs 6592  df-rq 6593  df-ltnqqs 6594  df-enq0 6665  df-nq0 6666  df-0nq0 6667  df-plq0 6668  df-mq0 6669  df-inp 6707  df-i1p 6708  df-iplp 6709  df-iltp 6711  df-enr 6954  df-nr 6955  df-ltr 6958  df-0r 6959  df-1r 6960
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7020  caucvgsrlembound  7021  caucvgsrlemgt1  7022
  Copyright terms: Public domain W3C validator