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Theorem caucvgsrlemgt1 6937
Description: Lemma for caucvgsr 6944. A Cauchy sequence whose terms are greater than one converges. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemgt1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  i
)  +R  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, F, k, l, u    i, F, x, j, k    m, F, n, k    n, l, u    y, F, i, j, x    ph, j,
k, x    ph, n    k, m, n
Allowed substitution hints:    ph( y, u, i, m, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemgt1
Dummy variables  a  b  w  z  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
2 caucvgsr.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
3 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
4 eqid 2056 . . . 4  |-  ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )  =  ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
51, 2, 3, 4caucvgsrlemf 6934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) : N. --> P. )
61, 2, 3, 4caucvgsrlemcau 6935 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  n
)  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  /\  (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  n )  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
) ) )
71, 2, 3, 4caucvgsrlembound 6936 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1P  <P  ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  m ) )
85, 6, 7caucvgprpr 6868 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P.  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) )
9 prsrcl 6926 . . . 4  |-  ( a  e.  P.  ->  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
109ad2antrl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e. 
N.  A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) ) ) )  ->  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
11 srpospr 6925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  <R  x )  ->  E! c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )
12 riotacl 5510 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x  ->  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  <R  x )  -> 
( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )
1413adantll 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )
15 simplrr 496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )  /\  x  e.  R. )  ->  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) )
1615adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  A. b  e.  P.  E. j  e. 
N.  A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) ) )
17 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
a  +P.  b )  =  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) )
1817breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  <->  ( (
z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) )
19 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )  =  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) )
2019breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b )  <->  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) )
2118, 20anbi12d 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) )  <->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) ) )
2221imbi2d 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  (
( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) )  <-> 
( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) ) ) )
2322rexralbidv 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  ->  ( E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) ) ) )
2423rspcva 2671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) )  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) ) )
2514, 16, 24syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) ) )
26 nfv 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j
ph
27 nfv 1437 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  a  e.  P.
28 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j P.
29 nfre1 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) )
3028, 29nfralya 2379 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) )
3127, 30nfan 1473 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) )
3226, 31nfan 1473 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )
33 nfv 1437 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  x  e.  R.
3432, 33nfan 1473 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )
35 nfv 1437 . . . . . . . . 9  |-  F/ j 0R  <R  x
3634, 35nfan 1473 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )
37 nfv 1437 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
ph
38 nfv 1437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  a  e.  P.
39 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k P.
40 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k N.
41 nfra1 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) )
4240, 41nfrexya 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) )
4339, 42nfralya 2379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) )
4438, 43nfan 1473 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) )
4537, 44nfan 1473 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )
46 nfv 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  R.
4745, 46nfan 1473 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )
48 nfv 1437 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k 0R  <R  x
4947, 48nfan 1473 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )
505ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) : N. --> P. )
51 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  k  e.  N. )
5250, 51ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  e.  P. )
53 simplrl 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )  /\  x  e.  R. )  ->  a  e.  P. )
5453adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  a  e.  P. )
55 addclpr 6693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  P.  /\  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )  ->  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )
5654, 14, 55syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )
5756adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )
58 prsrlt 6929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  e.  P.  /\  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  [ <. (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
5952, 57, 58syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  [ <. (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
601, 2, 3, 4caucvgsrlemfv 6933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  k ) )
6160adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  k ) )
6261adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  k ) )
6362adantlr 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  k ) )
64 prsradd 6928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  P.  /\  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )  ->  [ <. (
( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
6554, 14, 64syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  [ <. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
66 prsrriota 6930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  <R  x )  ->  [ <. ( ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )
6766oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  <R  x )  -> 
( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [
<. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x ) )
6867adantll 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x ) )
6965, 68eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  [ <. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) )
7069adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) )
7163, 70breq12d 3805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) ) )
7259, 71bitrd 181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) ) )
7354adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  a  e.  P. )
7414adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )
75 addclpr 6693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  e.  P.  /\  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )
7652, 74, 75syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )
77 prsrlt 6929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  P.  /\  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  e. 
P. )  ->  (
a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
7873, 76, 77syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
79 prsradd 6928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  e.  P.  /\  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  e.  P. )  ->  [ <. (
( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
8052, 74, 79syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) )
8180breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
8266adantll 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  [ <. ( ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )
8382adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  [ <. ( ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )
8463, 83oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( ( F `  k )  +R  x ) )
8584breq2d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( [ <. ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  [ <. ( ( iota_ c  e. 
P.  [ <. (
c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) 
<->  [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  (
( F `  k
)  +R  x ) ) )
8678, 81, 853bitrd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  <->  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) )
8772, 86anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) )  <-> 
( ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
)  /\  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) )
8887imbi2d 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  /\  k  e.  N. )  ->  (
( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) )  <->  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
8949, 88ralbida 2337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  ( A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [ <. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
)  /\  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) ) )
9036, 89rexbid 2342 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  ( E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  (
iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  ( iota_ c  e.  P.  [
<. ( c  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  x ) ) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
9125, 90mpbid 139 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
92 breq2 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
j  <N  k  <->  j  <N  i ) )
93 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
9493breq1d 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  <->  ( F `  i )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) ) )
9593oveq1d 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  +R  x )  =  ( ( F `
 i )  +R  x ) )
9695breq2d 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  (
( F `  k
)  +R  x )  <->  [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  (
( F `  i
)  +R  x ) ) )
9794, 96anbi12d 450 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
)  /\  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) )  <->  ( ( F `
 i )  <R 
( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
9892, 97imbi12d 227 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
)  /\  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) )  <->  ( j  <N  i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
9998cbvralv 2550 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) )  <->  A. i  e.  N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
10099rexbii 2348 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
10191, 100sylib 131 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  P.  /\ 
A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  <P  ( a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  +P.  b
) ) ) ) )  /\  x  e. 
R. )  /\  0R  <R  x )  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
102101ex 112 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( (
( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  <P  ( a  +P.  b
)  /\  a  <P  ( ( ( z  e. 
N.  |->  ( iota_ w  e. 
P.  ( F `  z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k
)  +P.  b )
) ) ) )  /\  x  e.  R. )  ->  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
103102ralrimiva 2409 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e. 
N.  A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
104 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( y  +R  x )  =  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x ) )
105104breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( ( F `  i
)  <R  ( y  +R  x )  <->  ( F `  i )  <R  ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x
) ) )
106 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( y  <R  ( ( F `  i )  +R  x )  <->  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i
)  +R  x ) ) )
107105, 106anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( ( ( F `  i )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  i
)  +R  x ) )  <->  ( ( F `
 i )  <R 
( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
108107imbi2d 223 . . . . . . 7  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( ( j  <N  i  ->  ( ( F `  i )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  i
)  +R  x ) ) )  <->  ( j  <N  i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
109108rexralbidv 2367 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
110109imbi2d 223 . . . . 5  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
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) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )
111110ralbidv 2343 . . . 4  |-  ( y  =  [ <. (
a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
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) ) ) )  <->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )
112111rspcev 2673 . . 3  |-  ( ( [ <. ( a  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  e.  R.  /\ 
A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  +R  x )  /\  [ <. ( a  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
11310, 103, 112syl2anc 397 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  P.  /\  A. b  e.  P.  E. j  e. 
N.  A. k  e.  N.  ( j  <N  k  ->  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `
 z )  =  [ <. ( w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) `  k )  <P  (
a  +P.  b )  /\  a  <P  ( ( ( z  e.  N.  |->  ( iota_ w  e.  P.  ( F `  z )  =  [ <. (
w  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) `  k )  +P.  b ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
1148, 113rexlimddv 2454 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  i
)  +R  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325   <.cop 3406   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   -->wf 4926   ` cfv 4930   iota_crio 5495  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   [cec 6135   N.cnpi 6428    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   *Qcrq 6440    <Q cltq 6441   P.cnp 6447   1Pc1p 6448    +P. cpp 6449    <P cltp 6451    ~R cer 6452   R.cnr 6453   0Rc0r 6454   1Rc1r 6455    +R cplr 6457    <R cltr 6459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875
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