ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 Unicode version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7037
Description: Lemma for caucvgsr 7040. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Distinct variable groups:    A, a, m    F, a    ph, a, m
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, m, n, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
21r19.21bi 2450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  <R  ( F `  m ) )
3 ltasrg 7009 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
43adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  -> 
( f  <R  g  <->  ( h  +R  f ) 
<R  ( h  +R  g
) ) )
51caucvgsrlemasr 7028 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
65adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
87ffvelrnda 5334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( F `
 m )  e. 
R. )
9 1sr 6990 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
11 addcomsrg 6994 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
1211adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R. )
)  ->  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5701 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A 
<R  ( F `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( ( F `  m )  +R  1R ) ) )
142, 13mpbid 145 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( F `  m )  +R  1R ) )
15 caucvgsr.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( ( F `  m )  +R  1R ) )
1814, 17breqtrrd 3819 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( G `  m )  +R  A
) )
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
2019ffvelrnda 5334 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( G `
 m )  e. 
R. )
21 addcomsrg 6994 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A
)  =  ( A  +R  ( G `  m ) ) )
2220, 6, 21syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( A  +R  ( G `  m )
) )
2318, 22breqtrd 3817 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( A  +R  ( G `  m )
) )
24 ltasrg 7009 . . . 4  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  ( G `  m )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 1R  <R  ( G `  m )  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2510, 20, 6, 24syl3anc 1170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( 1R 
<R  ( G `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2623, 25mpbird 165 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  <R  ( G `  m ) )
2726ralrimiva 2435 1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   <.cop 3409   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524    <N clti 6527    ~Q ceq 6531   *Qcrq 6536    <Q cltq 6537   1Pc1p 6544    +P. cpp 6545    ~R cer 6548   R.cnr 6549   1Rc1r 6551   -1Rcm1r 6552    +R cplr 6553    .R cmr 6554    <R cltr 6555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-imp 6721  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-mr 6968  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-1r 6971  df-m1r 6972
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7038
  Copyright terms: Public domain W3C validator