ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 Unicode version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7575
Description: Lemma for caucvgsr 7578. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Distinct variable groups:    A, a, m    F, a    ph, a, m
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, m, n, l)    G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
21r19.21bi 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  <R  ( F `  m ) )
3 ltasrg 7546 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
43adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  -> 
( f  <R  g  <->  ( h  +R  f ) 
<R  ( h  +R  g
) ) )
51caucvgsrlemasr 7566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
65adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  A  e. 
R. )
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
87ffvelrnda 5523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( F `
 m )  e. 
R. )
9 1sr 7527 . . . . . . . 8  |-  1R  e.  R.
109a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
11 addcomsrg 7531 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
1211adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  N. )  /\  (
f  e.  R.  /\  g  e.  R. )
)  ->  ( f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5908 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A 
<R  ( F `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( ( F `  m )  +R  1R ) ) )
142, 13mpbid 146 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( F `  m )  +R  1R ) )
15 caucvgsr.cau . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( ( F `  m )  +R  1R ) )
1814, 17breqtrrd 3926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( ( G `  m )  +R  A
) )
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7573 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
2019ffvelrnda 5523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( G `
 m )  e. 
R. )
21 addcomsrg 7531 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A
)  =  ( A  +R  ( G `  m ) ) )
2220, 6, 21syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( ( G `  m )  +R  A )  =  ( A  +R  ( G `  m )
) )
2318, 22breqtrd 3924 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( A  +R  1R )  <R 
( A  +R  ( G `  m )
) )
24 ltasrg 7546 . . . 4  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  ( G `  m )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 1R  <R  ( G `  m )  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2510, 20, 6, 24syl3anc 1201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  ( 1R 
<R  ( G `  m
)  <->  ( A  +R  1R )  <R  ( A  +R  ( G `  m ) ) ) )
2623, 25mpbird 166 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  N. )  ->  1R  <R  ( G `  m ) )
2726ralrimiva 2482 1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   <.cop 3500   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   -->wf 5089   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   [cec 6395   N.cnpi 7048    <N clti 7051    ~Q ceq 7055   *Qcrq 7060    <Q cltq 7061   1Pc1p 7068    +P. cpp 7069    ~R cer 7072   R.cnr 7073   1Rc1r 7075   -1Rcm1r 7076    +R cplr 7077    .R cmr 7078    <R cltr 7079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-i1p 7243  df-iplp 7244  df-imp 7245  df-iltp 7246  df-enr 7502  df-nr 7503  df-plr 7504  df-mr 7505  df-ltr 7506  df-0r 7507  df-1r 7508  df-m1r 7509
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7576
  Copyright terms: Public domain W3C validator