Theorem caucvgsrlemoffgt1 7037

Description: Lemma for caucvgsr 7040. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
caucvgsrlembnd.offset	|- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Distinct variable groups:   A, a, m   F, a   ph, a, m

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, m, n, l)   G( u, k, m, n, a, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2	1	r19.21bi 2450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A <R ( F ` m ) )
3		ltasrg 7009	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
4	3	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( f <R g <-> ( h +R f ) <R ( h +R g ) ) )
5	1	caucvgsrlemasr 7028	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. R. )
6	5	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> A e. R. )
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : N. --> R. )
8	7	ffvelrnda 5334	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( F ` m ) e. R. )
9		1sr 6990	. . . . . . . 8 |- 1R e. R.
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R e. R. )
11		addcomsrg 6994	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
12	11	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. N. ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 5701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A <R ( F ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) ) )
14	2, 13	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( F ` m ) +R 1R ) )
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 |- G = ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 7034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( ( F ` m ) +R 1R ) )
18	14, 17	breqtrrd 3819	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( ( G ` m ) +R A ) )
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 7035	. . . . . 6 |- ( ph -> G : N. --> R. )
20	19	ffvelrnda 5334	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( G ` m ) e. R. )
21		addcomsrg 6994	. . . . 5 |- ( ( ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
22	20, 6, 21	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( ( G ` m ) +R A ) = ( A +R ( G ` m ) ) )
23	18, 22	breqtrd 3817	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) )
24		ltasrg 7009	. . . 4 |- ( ( 1R e. R. /\ ( G ` m ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> ( 1R <R ( G ` m ) <-> ( A +R 1R ) <R ( A +R ( G ` m ) ) ) )
26	23, 25	mpbird 165	. 2 |- ( ( ph /\ m e. N. ) -> 1R <R ( G ` m ) )
27	26	ralrimiva 2435	1 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( G ` m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   <.cop 3409   class class class wbr 3793   |-> cmpt 3847   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   1oc1o 6058   [cec 6170   N.cnpi 6524   <N clti 6527   ~Q ceq 6531   *Qcrq 6536   <Q cltq 6537   1Pc1p 6544   +P. cpp 6545   ~R cer 6548   R.cnr 6549   1Rc1r 6551   -1Rcm1r 6552   +R cplr 6553   .R cmr 6554   <R cltr 6555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-1nqqs 6603  df-rq 6604  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-0nq0 6678  df-plq0 6679  df-mq0 6680  df-inp 6718  df-i1p 6719  df-iplp 6720  df-imp 6721  df-iltp 6722  df-enr 6965  df-nr 6966  df-plr 6967  df-mr 6968  df-ltr 6969  df-0r 6970  df-1r 6971  df-m1r 6972

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7038