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Theorem caucvgsrlemoffres 6942
Description: Lemma for caucvgsr 6944. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlembnd.offset  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a, k   
x, A, j, k    A, m, k    y, A, j, k, x    F, a, k    y, F    x, G, j, k    G, l, u, j, k    m, G, n, k    n, l, u    n, a, ph, k    ph, x, j    ph, m, n, a
Allowed substitution hints:    ph( y, u, l)    A( u, n, l)    F( x, u, j, m, n, l)    G( y, a)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffres
Dummy variables  i  f  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
2 caucvgsr.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
3 caucvgsrlembnd.bnd . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
4 caucvgsrlembnd.offset . . . 4  |-  G  =  ( a  e.  N.  |->  ( ( ( F `
 a )  +R 
1R )  +R  ( A  .R  -1R ) ) )
51, 2, 3, 4caucvgsrlemofff 6939 . . 3  |-  ( ph  ->  G : N. --> R. )
61, 2, 3, 4caucvgsrlemoffcau 6940 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( G `  n
)  <R  ( ( G `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( G `  k )  <R  (
( G `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
71, 2, 3, 4caucvgsrlemoffgt1 6941 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( G `  m ) )
85, 6, 7caucvgsrlemgt1 6937 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( G `  i )  <R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) ) ) )
9 simprl 491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  z  e.  R. )
103caucvgsrlemasr 6932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
1110adantr 265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  A  e.  R. )
12 addclsr 6896 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( z  +R  A
)  e.  R. )
139, 11, 12syl2anc 397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  (
z  +R  A )  e.  R. )
14 m1r 6895 . . . 4  |-  -1R  e.  R.
15 addclsr 6896 . . . 4  |-  ( ( ( z  +R  A
)  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  e.  R. )
1613, 14, 15sylancl 398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  e.  R. )
17 ltasrg 6913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
1817adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  ->  (
f  <R  g  <->  ( h  +R  f )  <R  (
h  +R  g ) ) )
195ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  G : N. --> R. )
20 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  i  e.  N. )
2119, 20ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( G `  i )  e.  R. )
22 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  z  e.  R. )
23 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  x  e.  R. )
24 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( z  +R  x
)  e.  R. )
2522, 23, 24syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  +R  x )  e.  R. )
2610ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  A  e.  R. )
27 addcomsrg 6898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
2827adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R. ) )  ->  (
f  +R  g )  =  ( g  +R  f ) )
2918, 21, 25, 26, 28caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( ( G `
 i )  +R  A )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
301, 2, 3, 4caucvgsrlemoffval 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `  i )  +R  A )  =  ( ( F `  i )  +R  1R ) )
3130adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  (
( G `  i
)  +R  A )  =  ( ( F `
 i )  +R 
1R ) )
3231adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  +R  A )  =  ( ( F `  i
)  +R  1R )
)
3332breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  A )  <R 
( ( z  +R  x )  +R  A
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
3429, 33bitrd 181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  x
)  +R  A ) ) )
35 addasssrg 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
3635adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  /\  ( f  e. 
R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. ) )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
3722, 23, 26, 28, 36caov32d 5709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  x )  +R  A )  =  ( ( z  +R  A
)  +R  x ) )
3837breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  x )  +R  A
)  <->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  <R  (
( z  +R  A
)  +R  x ) ) )
391ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  F : N. --> R. )
4039ffvelrnda 5330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( F `  i )  e.  R. )
41 1sr 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1R  e.  R.
42 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( ( F `  i )  +R  1R )  e.  R. )
4340, 41, 42sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R 
1R )  e.  R. )
4422, 26, 12syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  +R  A )  e.  R. )
45 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  +R  A
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( z  +R  A )  +R  x
)  e.  R. )
4644, 23, 45syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  +R  x )  e.  R. )
4714a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  -1R  e.  R. )
4818, 43, 46, 47, 28caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  A )  +R  x
)  <->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  x
)  +R  -1R )
) )
4941a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  1R  e.  R. )
50 addasssrg 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  ->  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  -1R )  =  ( ( F `  i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
5140, 49, 47, 50syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( ( F `  i
)  +R  ( 1R 
+R  -1R ) ) )
52 addcomsrg 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( 1R  +R  -1R )  =  ( -1R  +R 
1R ) )
5341, 14, 52mp2an 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  1R )
54 m1p1sr 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
5553, 54eqtri 2076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1R 
+R  -1R )  =  0R
5655oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( ( F `  i
)  +R  0R )
57 0idsr 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  i )  e.  R.  ->  (
( F `  i
)  +R  0R )  =  ( F `  i ) )
5840, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  0R )  =  ( F `  i ) )
5956, 58syl5eq 2100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( F `  i ) )
6051, 59eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( F `  i ) )
6144, 23, 47, 28, 36caov32d 5709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( z  +R  A )  +R  x )  +R 
-1R )  =  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) )
6260, 61breq12d 3805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  -1R )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  x
)  +R  -1R )  <->  ( F `  i ) 
<R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
) ) )
6348, 62bitrd 181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  <R 
( ( z  +R  A )  +R  x
)  <->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
6434, 38, 633bitrd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  <->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
6564biimpd 136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  <R 
( z  +R  x
)  ->  ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
66 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  i
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( G `  i )  +R  x
)  e.  R. )
6721, 23, 66syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( G `
 i )  +R  x )  e.  R. )
6818, 22, 67, 26, 28caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( G `  i )  +R  x
)  +R  A ) ) )
6921, 23, 26, 28, 36caov32d 5709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  x )  +R  A )  =  ( ( ( G `  i )  +R  A
)  +R  x ) )
7032oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  A )  +R  x )  =  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) )
7169, 70eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i )  +R  x )  +R  A )  =  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) )
7271breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  <R 
( ( ( G `
 i )  +R  x )  +R  A
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) ) )
7368, 72bitrd 181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( z  +R  A )  <R  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x ) ) )
74 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  i )  +R  1R )  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  (
( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  e. 
R. )
7543, 23, 74syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  e.  R. )
7618, 44, 75, 47, 28caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( z  +R  A )  <R 
( ( ( F `
 i )  +R 
1R )  +R  x
)  <->  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  <R  (
( ( ( F `
 i )  +R 
1R )  +R  x
)  +R  -1R )
) )
7740, 49, 23, 28, 36caov32d 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  1R )
)
7877oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( ( F `  i )  +R  x
)  +R  1R )  +R  -1R ) )
79 addclsr 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( ( F `  i )  +R  x
)  e.  R. )
8040, 23, 79syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( F `
 i )  +R  x )  e.  R. )
81 addasssrg 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  i )  +R  x
)  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  ->  (
( ( ( F `
 i )  +R  x )  +R  1R )  +R  -1R )  =  ( ( ( F `
 i )  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
8280, 49, 47, 81syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  x )  +R  1R )  +R 
-1R )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  ( 1R 
+R  -1R ) ) )
8378, 82eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( F `  i
)  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) ) )
8455oveq2i 5551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  +R  x )  +R  ( 1R  +R  -1R ) )  =  ( ( ( F `  i )  +R  x
)  +R  0R )
8583, 84syl6eq 2104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( (
( F `  i
)  +R  x )  +R  0R ) )
86 0idsr 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  +R  x )  e.  R.  ->  (
( ( F `  i )  +R  x
)  +R  0R )  =  ( ( F `
 i )  +R  x ) )
8780, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( F `  i )  +R  x )  +R  0R )  =  ( ( F `  i
)  +R  x ) )
8885, 87eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( ( F `  i
)  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R )  =  ( ( F `  i )  +R  x ) )
8988breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( ( ( F `  i )  +R  1R )  +R  x )  +R  -1R ) 
<->  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) ) )
9073, 76, 893bitrd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  <->  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  <R  (
( F `  i
)  +R  x ) ) )
9190biimpd 136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( z  <R 
( ( G `  i )  +R  x
)  ->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) )
9265, 91anim12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( ( G `  i ) 
<R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) )  ->  ( ( F `  i )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) ) )
9392imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  /\  i  e.  N. )  ->  ( ( j 
<N  i  ->  ( ( G `  i ) 
<R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
9493ralimdva 2404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( A. i  e.  N.  ( j  <N  i  ->  ( ( G `  i )  <R  (
z  +R  x )  /\  z  <R  (
( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  A. i  e.  N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( F `  i )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  i )  +R  x
) ) ) ) )
95 breq2 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
j  <N  i  <->  j  <N  k ) )
96 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
9796breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  <->  ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
9896oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  +R  x )  =  ( ( F `
 k )  +R  x ) )
9998breq2d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x )  <->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) )
10097, 99anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) )  <->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
10195, 100imbi12d 227 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
( j  <N  i  ->  ( ( F `  i )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 i )  +R  x ) ) )  <-> 
( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  <R  ( ( F `
 k )  +R  x ) ) ) ) )
102101cbvralv 2550 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( F `  i
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  i )  +R  x
) ) )  <->  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
10394, 102syl6ib 154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( A. i  e.  N.  ( j  <N  i  ->  ( ( G `  i )  <R  (
z  +R  x )  /\  z  <R  (
( G `  i
)  +R  x ) ) )  ->  A. k  e.  N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
104103reximdv 2437 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  ( E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) )  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
105104imim2d 52 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  R. )  /\  x  e.  R. )  ->  (
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) )  ->  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
106105ralimdva 2404 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  R. )  ->  ( A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e. 
N.  ( j  <N 
i  ->  ( ( G `  i )  <R  ( z  +R  x
)  /\  z  <R  ( ( G `  i
)  +R  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
107106impr 365 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
108 oveq1 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
y  +R  x )  =  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) )
109108breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  <->  ( F `  k )  <R  (
( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x ) ) )
110 breq1 3795 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
y  <R  ( ( F `
 k )  +R  x )  <->  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) )
111109, 110anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( ( F `  k )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  k
)  +R  x ) )  <->  ( ( F `
 k )  <R 
( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )
112111imbi2d 223 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  (
y  +R  x )  /\  y  <R  (
( F `  k
)  +R  x ) ) )  <->  ( j  <N  k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
113112rexralbidv 2367 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  ( E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) )  <->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
114113imbi2d 223 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  (
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )  <-> 
( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
)  +R  -1R )  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) ) )
115114ralbidv 2343 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  ->  ( A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) )  <->  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  +R  x )  /\  (
( z  +R  A
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) ) ) ) ) )
116115rspcev 2673 . . 3  |-  ( ( ( ( z  +R  A )  +R  -1R )  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( ( ( z  +R  A )  +R 
-1R )  +R  x
)  /\  ( (
z  +R  A )  +R  -1R )  <R 
( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
11716, 107, 116syl2anc 397 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  R.  /\  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. i  e.  N.  (
j  <N  i  ->  (
( G `  i
)  <R  ( z  +R  x )  /\  z  <R  ( ( G `  i )  +R  x
) ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  R.  A. x  e. 
R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e.  N.  (
j  <N  k  ->  (
( F `  k
)  <R  ( y  +R  x )  /\  y  <R  ( ( F `  k )  +R  x
) ) ) ) )
1188, 117rexlimddv 2454 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  R.  A. x  e.  R.  ( 0R  <R  x  ->  E. j  e.  N.  A. k  e. 
N.  ( j  <N 
k  ->  ( ( F `  k )  <R  ( y  +R  x
)  /\  y  <R  ( ( F `  k
)  +R  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   <.cop 3406   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   [cec 6135   N.cnpi 6428    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   *Qcrq 6440    <Q cltq 6441   1Pc1p 6448    +P. cpp 6449    ~R cer 6452   R.cnr 6453   0Rc0r 6454   1Rc1r 6455   -1Rcm1r 6456    +R cplr 6457    .R cmr 6458    <R cltr 6459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-imp 6625  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-mr 6872  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-m1r 6876
This theorem is referenced by:  caucvgsrlembnd  6943
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