Theorem cjmulrcl 9975

Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulrcl	|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )

Proof of Theorem cjmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj 9971	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` ( * ` A ) ) = A )
2	1	oveq2d 5579	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) x. ( * ` ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
3		cjcl 9936	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) e. CC )
4		cjmul 9973	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( * ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` ( * ` A ) ) ) )
5	3, 4	mpdan 412	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` ( * ` A ) ) ) )
6		mulcom 7216	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
7	3, 6	mpdan 412	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( * ` A ) x. A ) )
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2125	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
9		mulcl 7214	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` A ) e. CC ) -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
10	3, 9	mpdan 412	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. CC )
11		cjreb 9954	. . 3 |- ( ( A x. ( * ` A ) ) e. CC -> ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR <-> ( * ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR <-> ( * ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) ) )
13	8, 12	mpbird 165	1 |- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094   x. cmul 7100   *ccj 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-2 8217  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932

This theorem is referenced by:  cjmulval  9976  cjmulrcli  10009  cjmulrcld  10039  abscl  10138  absvalsq  10140  absge0  10147  absmul  10156