Theorem cjneg 10655

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10618	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd 7787	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn 7708	. . . . 5 |- _i e. CC
4		imcl 10619	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd 7787	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl 7740	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3, 5, 6	sylancr 410	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2, 7	neg2subd 8083	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
9		reneg 10633	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
10		imneg 10641	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
11	10	oveq2d 5783	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( Im ` A ) ) )
12		mulneg2 8151	. . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	3, 5, 12	sylancr 410	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
14	11, 13	eqtrd 2170	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
15	9, 14	oveq12d 5785	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2, 7	negsubdi2d 8082	. . 3 |- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2180	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18		negcl 7955	. . 3 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19		remim 10625	. . 3 |- ( -u A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
21		remim 10625	. . 3 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
22	21	negeqd 7950	. 2 |- ( A e. CC -> -u ( * ` A ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2180	1 |- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   _ici 7615   x. cmul 7618   - cmin 7926   -ucneg 7927   *ccj 10604   Recre 10605   Imcim 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609

This theorem is referenced by:  cjsub  10657  cjnegi  10691  cjnegd  10721  absneg  10815