Theorem clim 10258

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence F is A, or F converges to A. This means that for any real x, no matter how small, there always exists an integer j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim.1	|- ( ph -> F e. V )
clim.3	|- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )

Assertion

Ref	Expression
clim	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem clim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 10257	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex2i 4411	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> A -> A e. _V ) )
4		elex 2611	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. _V )
5	4	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V ) )
7		clim.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
8		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> y = A )
9	8	eleq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( y e. CC <-> A e. CC ) )
10		fveq1 5208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
11	10	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
12	11	eleq1d 2148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) e. CC <-> ( F ` k ) e. CC ) )
13		oveq12 5552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) = ( F ` k ) /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
14	10, 13	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
15	14	fveq2d 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
16	15	breq1d 3803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
17	12, 16	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
18	17	ralbidv 2369	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
19	18	rexbidv 2370	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
20	19	ralbidv 2369	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
21	9, 20	anbi12d 457	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
22		df-clim 10256	. . . . . 6 |- ~~> = { <. f , y >. | ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) }
23	21, 22	brabga 4027	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. _V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
24	23	ex 113	. . . 4 |- ( F e. V -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
25	7, 24	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
26	3, 6, 25	pm5.21ndd 654	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
27		eluzelz 8709	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
28		clim.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )
29	28	eleq1d 2148	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> B e. CC ) )
30	28	oveq1d 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) - A ) = ( B - A ) )
31	30	fveq2d 5213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
32	31	breq1d 3803	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
33	29, 32	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
34	27, 33	sylan2 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
35	34	ralbidva 2365	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
36	35	rexbidv 2370	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
37	36	ralbidv 2369	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
38	37	anbi2d 452	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )
39	26, 38	bitrd 186	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   < clt 7215   - cmin 7346   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   RR+crp 8815   abscabs 10021   ~~> cli 10255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-neg 7349  df-z 8433  df-uz 8701  df-clim 10256

This theorem is referenced by:  climcl  10259  clim2  10260  climshftlemg  10279