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Theorem climcn2 10286
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn2.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn2.3a  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
climcn2.3b  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
climcn2.4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
climcn2.5a  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn2.5b  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
climcn2.6  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
climcn2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
climcn2.8a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
climcn2.8b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
climcn2.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn2  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Distinct variable groups:    u, k, v, C    D, k, u, v   
y, k, z, H, v    x, k, ph, u, y, z, v    A, k, u, v, x, y, z    k, G, u, v, y, z    k, K, x    k, Z, y, z    B, k, u, v, x, y, z    k, F, u, v, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z)    D( x, y, z)    G( x)    H( x, u)    K( y, z, v, u)    M( x, y, z, v, u, k)    W( x, y, z, v, u, k)    Z( x, v, u)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
5 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 k ) )
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 10265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
10 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  z  e.  RR+ )
11 eqidd 2083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( H `
 k ) )
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  ~~>  B )
1312adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  H  ~~>  B )
142, 4, 10, 11, 13climi2 10265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )
152rexanuz2 10015 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
169, 14, 15sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z ) )
172uztrn2 8717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  C )
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  e.  D )
20 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
2120fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( u  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
2221breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
2322anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( v  -  B
) )  <  z
) ) )
24 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
u F v )  =  ( ( G `
 k ) F v ) )
2524oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )
2625fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F v )  -  ( A F B ) ) ) )
2726breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
2823, 27imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
29 oveq1 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
v  -  B )  =  ( ( H `
 k )  -  B ) )
3029fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( v  -  B ) )  =  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) ) )
3130breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
v  -  B ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) )
3231anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  <->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B
) )  <  z
) ) )
33 oveq2 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( G `  k
) F v )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
3433oveq1d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) )  =  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )
3534fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) ) )
3635breq1d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
3732, 36imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
( H `  k
)  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3828, 37rspc2v 2714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x
) ) )
4039imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4140an32s 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4217, 41sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4342anassrs 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4443ralimdva 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4544reximdva 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( (
( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4645ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `
 k )  -  B ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4746adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( ( H `  k )  -  B ) )  <  z )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) ) )
4816, 47mpid 41 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR+  /\  z  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A
) )  <  y  /\  ( abs `  (
v  -  B ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
4948rexlimdvva 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  (
( ( abs `  (
u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( ( G `  k
) F ( H `
 k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
5049adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( ( ( abs `  ( u  -  A ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  B ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u F v )  -  ( A F B ) ) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
511, 50mpd 13 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
5251ralrimiva 2435 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) )  -  ( A F B ) ) )  <  x )
53 climcn2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  W )
54 climcn2.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K `  k )  =  ( ( G `
 k ) F ( H `  k
) ) )
55 climcn2.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  C  /\  v  e.  D ) )  -> 
( u F v )  e.  CC )
56 climcn2.3a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
57 climcn2.3b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5855, 56, 57caovcld 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  CC )
5918, 19jca 300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D ) )
6055ralrimivva 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6160adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC )
6224eleq1d 2148 . . . . 5  |-  ( u  =  ( G `  k )  ->  (
( u F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F v )  e.  CC ) )
6333eleq1d 2148 . . . . 5  |-  ( v  =  ( H `  k )  ->  (
( ( G `  k ) F v )  e.  CC  <->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6462, 63rspc2v 2714 . . . 4  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  C  /\  ( H `  k )  e.  D )  -> 
( A. u  e.  C  A. v  e.  D  ( u F v )  e.  CC  ->  ( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  e.  CC ) )
6559, 61, 64sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( G `  k
) F ( H `
 k ) )  e.  CC )
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 10261 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  ~~>  ( A F B )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( ( G `  k ) F ( H `  k ) )  -  ( A F B ) ) )  <  x ) )
6752, 66mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  K  ~~>  ( A F B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041    < clt 7215    - cmin 7346   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   RR+crp 8815   abscabs 10021    ~~> cli 10255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-clim 10256
This theorem is referenced by:  climadd  10302  climmul  10303  climsub  10304
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