Theorem climcvg1n 11119

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climcvg1n

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcvg1n.f	. 2 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2		climcvg1n.c	. 2 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climcvg1n.cau	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4		eqid 2139	. 2 |- ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
5		fveq2 5421	. . . 4 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
6	5	fveq2d 5425	. . 3 |- ( y = x -> ( Im ` ( F ` y ) ) = ( Im ` ( F ` x ) ) )
7	6	cbvmptv 4024	. 2 |- ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
8		eqid 2139	. 2 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( _i x. ( ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) ` x ) ) )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	climcvg1nlem 11118	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   _ici 7622   x. cmul 7625   < clt 7800   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   Recre 10612   Imcim 10613   abscabs 10769   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  cvgratnn  11300  cvgcmp2n  13228