Theorem climle 11103

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climle.5	|- ( ph -> G ~~> B )
climle.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
climle.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
climle.8	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climle	|- ( ph -> A <_ B )

Distinct variable groups:   B, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Proof of Theorem climle

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climle.5	. . . 4 |- ( ph -> G ~~> B )
4		zex 9063	. . . . . . . 8 |- ZZ e. _V
5		uzssz 9345	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
6	4, 5	ssexi 4066	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
7	1, 6	eqeltri 2212	. . . . . 6 |- Z e. _V
8	7	mptex 5646	. . . . 5 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) e. _V )
10		climadd.4	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climle.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
12	11	recnd 7794	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
13		climle.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
14	13	recnd 7794	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
15		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
16	11, 13	resubcld 8143	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR )
17		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
18		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
19	17, 18	oveq12d 5792	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
20		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) = ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) )
21	19, 20	fvmptg 5497	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
23	1, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22	climsub 11097	. . 3 |- ( ph -> ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ~~> ( B - A ) )
24	22, 16	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) e. RR )
25		climle.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) )
26	11, 13	subge0d 8297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( G ` k ) ) )
27	25, 26	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( G ` k ) - ( F ` k ) ) )
28	27, 22	breqtrrd 3956	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( j e. Z |-> ( ( G ` j ) - ( F ` j ) ) ) ` k ) )
29	1, 2, 23, 24, 28	climge0 11094	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( B - A ) )
30	1, 2, 3, 11	climrecl 11093	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
31	1, 2, 10, 13	climrecl 11093	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
32	30, 31	subge0d 8297	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
33	29, 32	mpbid 146	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   <_ cle 7801   - cmin 7933   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climlec2  11110  iserle  11111  iserabs  11244  cvgcmpub  11245