ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climmpt Unicode version

Theorem climmpt 11037
Description: Exhibit a function  G with the same convergence properties as the not-quite-function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt.2  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climmpt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, Z
Allowed substitution hints:    G( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 simpr 109 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
3 climmpt.2 . . . 4  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
4 uzf 9297 . . . . . . . 8  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
54ffvelrni 5522 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
~P ZZ )
6 elex 2671 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  M )  e. 
~P ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  e. 
_V )
81, 7eqeltrid 2204 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  e.  _V )
9 mptexg 5613 . . . . 5  |-  ( Z  e.  _V  ->  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  e.  _V )
108, 9syl 14 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )  e.  _V )
113, 10eqeltrid 2204 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  G  e.  _V )
1211adantr 274 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  G  e.  _V )
13 simpl 108 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  M  e.  ZZ )
14 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  m  e.  Z )
15 fvexg 5408 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  _V )
1615adantll 467 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  e.  _V )
17 fveq2 5389 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
1817, 3fvmptg 5465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  Z  /\  ( F `  m )  e.  _V )  -> 
( G `  m
)  =  ( F `
 m ) )
1914, 16, 18syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
2019eqcomd 2123 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
211, 2, 12, 13, 20climeq 11036 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   ~Pcpw 3480   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   ` cfv 5093   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-clim 11016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator