ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climrecl Unicode version

Theorem climrecl 10363
Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrecl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrecl.3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climrecl.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
climrecl  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    ph, k    k, Z    A, k

Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climrecl.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 10322 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 climrecl.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 climrel 10320 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
65brrelexi 4430 . . . . . 6  |-  ( F  ~~>  A  ->  F  e.  _V )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
8 climrecl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 climrecl.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
109recnd 7261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
11 rere 9953 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  (
Re `  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
1211eqcomd 2088 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
144, 1, 7, 8, 10, 13climre 10361 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( Re `  A ) )
15 climuni 10333 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  ( Re `  A ) )  ->  A  =  ( Re `  A ) )
161, 14, 15syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( Re
`  A ) )
1716eqcomd 2088 . 2  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  =  A )
183, 17rerebd 10033 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   ` cfv 4952   CCcc 7093   RRcr 7094   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   Recre 9928    ~~> cli 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-clim 10319
This theorem is referenced by:  climge0  10364  climle  10373  climsqz  10374  climsqz2  10375
  Copyright terms: Public domain W3C validator