Theorem climrecvg1n 11117

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
climrecvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climrecvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climrecvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climrecvg1n

Dummy variables e i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecvg1n.f	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		climrecvg1n.c	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climrecvg1n.cau	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4	3	r19.21bi 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
5	4	r19.21bi 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
6	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : NN --> RR )
7		eluznn 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
8	7	adantll 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. NN )
9	6, 8	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
10		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. NN )
11	6, 10	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
12	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> C e. RR+ )
13	10	nnrpd 9482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. RR+ )
14	12, 13	rpdivcld 9501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR+ )
15	14	rpred 9483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( C / n ) e. RR )
16	9, 11, 15	absdifltd 10950	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) <-> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
18	11, 15, 9	ltsubaddd 8303	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) <-> ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) ) )
19	18	anbi1d 460	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( ( F ` n ) - ( C / n ) ) < ( F ` k ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) ) )
20	17, 19	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
21	20	ralrimiva 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
22	21	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
23	1, 2, 22	cvg1n 10758	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : NN --> RR )
25	24	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> F : NN --> RR )
26		eluznn 9394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
27	26	adantll 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> j e. NN )
28	25, 27	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
29		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
30	29	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> y e. RR )
31		simpllr 523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR+ )
32	31	rpred 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> e e. RR )
33	28, 30, 32	absdifltd 10950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
34	30, 32, 28	ltsubaddd 8303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( y - e ) < ( F ` j ) <-> y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
35	34	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( ( y - e ) < ( F ` j ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
36	33, 35	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) ) )
37		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( y < ( ( F ` j ) + e ) /\ ( F ` j ) < ( y + e ) ) <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) )
38	36, 37	syl6bb 195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) /\ j e. ( ZZ>= ` i ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
39	38	ralbidva 2433	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ i e. NN ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
40	39	rexbidva 2434	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
41	40	ralbidva 2433	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) )
42		nnuz 9361	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 9081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
44		nnex 8726	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
45	44	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> NN e. _V )
46		reex 7754	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
47	46	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> RR e. _V )
48		fex2 5291	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> RR /\ NN e. _V /\ RR e. _V ) -> F e. _V )
49	24, 45, 47, 48	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F e. _V )
50		eqidd 2140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
51	29	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
52	24	ffvelrnda 5555	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
53	52	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
54	42, 43, 49, 50, 51, 53	clim2c 11053	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ~~> y <-> A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e ) )
55		climrel 11049	. . . . . 6 |- Rel ~~>
56	55	releldmi 4778	. . . . 5 |- ( F ~~> y -> F e. dom ~~> )
57	54, 56	syl6bir 163	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( ( F ` j ) - y ) ) < e -> F e. dom ~~> ) )
58	41, 57	sylbird 169	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) -> F e. dom ~~> ) )
59	58	impr 376	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. e e. RR+ E. i e. NN A. j e. ( ZZ>= ` i ) ( ( F ` j ) < ( y + e ) /\ y < ( ( F ` j ) + e ) ) ) ) -> F e. dom ~~> )
60	23, 59	rexlimddv 2554	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   abscabs 10769   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climcvg1nlem  11118