ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climshftlemg Unicode version

Theorem climshftlemg 11039
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
climshftlemg  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshftlemg
Dummy variables  k  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 9062 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
32adantlr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
4 eluzsub 9323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
543com12 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
653expa 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
7 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
87eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
97oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
109fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
1110breq1d 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
128, 11anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
1312rspcv 2759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  M )  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
( F `  (
n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
146, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
1514adantllr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
16 simplr 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  F  e.  V
)
17 zcn 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
1817ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  M  e.  CC )
19 eluzelcn 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  CC )
2019adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
21 shftvalg 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( F  shift  M ) `
 n )  =  ( F `  (
n  -  M ) ) )
2221eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
2321oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A )  =  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )
2423fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) ) )
2524breq1d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
2622, 25anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2716, 18, 20, 26syl3anc 1201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2827adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2915, 28sylibrd 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x ) ) )
3029ralrimdva 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
31 fveq2 5389 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )
3231raleqdv 2609 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
)  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
3332rspcev 2763 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  M
)  e.  ZZ  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) )
343, 30, 33syl6an 1395 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3534rexlimdva 2526 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3635ralimdv 2477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736anim2d 335 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
38 simpr 109 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
39 eqidd 2118 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
4038, 39clim 11018 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
41 ovshftex 10559 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4241ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4317, 42sylan 281 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
44 eqidd 2118 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
shift  M ) `  n
)  =  ( ( F  shift  M ) `  n ) )
4543, 44clim 11018 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
4637, 40, 453imtr4d 202 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586    + caddc 7591    < clt 7768    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   RR+crp 9409    shift cshi 10554   abscabs 10737    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-shft 10555  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  climshft  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator