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Theorem climshftlemg 10342
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
climshftlemg  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshftlemg
Dummy variables  k  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 8524 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 264 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
32adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
4 eluzsub 8781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
543com12 1143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
653expa 1139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
7 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
87eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
97oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
109fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
1110breq1d 3815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
128, 11anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
1312rspcv 2706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  M )  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
( F `  (
n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
146, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
1514adantllr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
16 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  F  e.  V
)
17 zcn 8489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
1817ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  M  e.  CC )
19 eluzelcn 8763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  CC )
2019adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
21 shftvalg 9925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( F  shift  M ) `
 n )  =  ( F `  (
n  -  M ) ) )
2221eleq1d 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
2321oveq1d 5578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A )  =  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )
2423fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) ) )
2524breq1d 3815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
2622, 25anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  (
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2716, 18, 20, 26syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2827adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2915, 28sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x ) ) )
3029ralrimdva 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
31 fveq2 5229 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )
3231raleqdv 2560 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
)  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
3332rspcev 2710 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  M
)  e.  ZZ  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) )
343, 30, 33syl6an 1364 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3534rexlimdva 2482 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3635ralimdv 2435 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736anim2d 330 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
38 simpr 108 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
39 eqidd 2084 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
4038, 39clim 10321 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
41 ovshftex 9908 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  M  e.  CC )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4241ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
4317, 42sylan 277 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  M )  e.  _V )
44 eqidd 2084 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
shift  M ) `  n
)  =  ( ( F  shift  M ) `  n ) )
4543, 44clim 10321 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( ( F  shift  M )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
4637, 40, 453imtr4d 201 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  -> 
( F  shift  M )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093    + caddc 7098    < clt 7267    - cmin 7398   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   RR+crp 8867    shift cshi 9903   abscabs 10084    ~~> cli 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-shft 9904  df-clim 10319
This theorem is referenced by:  climshft  10344
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