Theorem climshftlemg 10342

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 8524	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 264	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3	2	adantlr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
4		eluzsub 8781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3com12 1143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	3expa 1139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
7		fveq2 5229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
8	7	eleq1d 2151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
9	7	oveq1d 5578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
10	9	fveq2d 5233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
11	10	breq1d 3815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
12	8, 11	anbi12d 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	12	rspcv 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
15	14	adantllr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
16		simplr 497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> F e. V )
17		zcn 8489	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
18	17	ad2antrr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> M e. CC )
19		eluzelcn 8763	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
20	19	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> n e. CC )
21		shftvalg 9925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
22	21	eleq1d 2151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
23	21	oveq1d 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
24	23	fveq2d 5233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
25	24	breq1d 3815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
26	22, 25	anbi12d 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. V /\ M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
28	27	adantlr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
29	15, 28	sylibrd 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	ralrimdva 2446	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
31		fveq2 5229	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
32	31	raleqdv 2560	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	rspcev 2710	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
34	3, 30, 33	syl6an 1364	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
35	34	rexlimdva 2482	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
36	35	ralimdv 2435	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
37	36	anim2d 330	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		simpr 108	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
39		eqidd 2084	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
40	38, 39	clim 10321	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
41		ovshftex 9908	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ M e. CC ) -> ( F shift M ) e. _V )
42	41	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
43	17, 42	sylan 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F shift M ) e. _V )
44		eqidd 2084	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
45	43, 44	clim 10321	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
46	37, 40, 45	3imtr4d 201	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   + caddc 7098   < clt 7267   - cmin 7398   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   RR+crp 8867   shift cshi 9903   abscabs 10084   ~~> cli 10318

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-shft 9904  df-clim 10319

This theorem is referenced by:  climshft  10344