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Theorem cncongr1 10692
Description: One direction of the bicondition in cncongr 10694. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )

Proof of Theorem cncongr1
Dummy variables  k  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 8537 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
213adant2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
3 zmulcl 8537 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
433adant1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
5 simpl 107 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
6 congr 10689 . . 3  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
72, 4, 5, 6syl2an3an 1230 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
8 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
9 nnz 8503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
10 nnne0 8186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
13 eqidd 2084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  gcd  N
)  =  ( C  gcd  N ) )
148, 12, 133jca 1119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) )
1514ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
16153ad2ant3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1716com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) ) ) )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) ) )
1918impcom 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N
) ) )
20 divgcdcoprmex 10691 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( C  gcd  N )  =  ( C  gcd  N ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2119, 20syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
2221adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 ) )
23 oveq2 5571 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
24233ad2ant2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( k  x.  N
)  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
2524adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
k  x.  N )  =  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
26 oveq2 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
27 oveq2 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )
2826, 27oveq12d 5581 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
29283ad2ant1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) )
3029adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) ) ) )
3125, 30eqeq12d 2097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  <->  ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) ) ) )
32 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
3332zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  CC )
35 simp3 941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
379ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3836, 37gcdcld 10567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
3938nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
4039ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
41 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  ZZ )
4241zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  e.  CC )
4342adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
4434, 40, 43mul12d 7379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s ) ) )
45 simp1 939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
4645zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
4746ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
4835ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
495nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5049adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
5150adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5248, 51gcdcld 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
5352nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
5453adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
55 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  ZZ )
5655zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  r  e.  CC )
5756adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  CC )
5847, 54, 57mul12d 7379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) ) )
59 simp2 940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
6059zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
6160ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
6236, 50gcdcld 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
6362nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
6463ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  CC )
6561, 64, 57mul12d 7379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  r ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) )
6658, 65oveq12d 5581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
6744, 66eqeq12d 2097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) ) ) )
6845ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
6955adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
r  e.  ZZ )
7068, 69zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
7170zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  CC )
7259ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
7372, 69zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
7473zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  CC )
7564, 71, 74subdid 7637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r ) ) ) )
7675eqcomd 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r
) )  -  (
( C  gcd  N
)  x.  ( B  x.  r ) ) )  =  ( ( C  gcd  N )  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) ) )
7776eqeq2d 2094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( ( C  gcd  N )  x.  ( A  x.  r ) )  -  ( ( C  gcd  N )  x.  ( B  x.  r
) ) )  <->  ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) ) )
7832adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
79 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  ZZ )
8078, 79zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  ZZ )
8180zcnd 8603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( k  x.  s
)  e.  CC )
82 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  r
)  e.  ZZ )
8382ad2ant2r 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  r
)  e.  ZZ )
84 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8584ad2ant2lr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  r
)  e.  ZZ )
8683, 85zsubcld 8607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  ZZ )
8786zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
8887ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
89883adant3 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) )  e.  CC ) )
9089ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  e.  CC ) )
9190imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  e.  CC )
9210ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  =/=  0
)
93 gcd2n0cl 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9436, 50, 92, 93syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN )
9594nnne0d 8202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0 )
9695ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 )
9752adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
9897nn0zd 8600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
)  e.  ZZ )
99 0zd 8496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  ZZ )
100 zapne 8555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10198, 99, 100syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
10296, 101mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( C  gcd  N
) #  0 )
10381, 91, 64, 102mulcanapd 7870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( C  gcd  N )  x.  ( k  x.  s
) )  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )  <-> 
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) ) )
10467, 77, 1033bitrd 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
105104adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) ) ) )
106 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
107 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
108106, 107anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
1091083adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
110109ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )
111110, 56anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
112 df-3an 922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  r  e.  CC ) )
113111, 112sylibr 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )
)
114 subdir 7609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  r )  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r
) ) )
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  x.  r
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) ) )
116115eqcomd 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r )
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
117116adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( A  x.  r
)  -  ( B  x.  r ) )  =  ( ( A  -  B )  x.  r ) )
118117eqeq2d 2094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  <->  ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r ) ) )
1195nncnd 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
120119adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  CC )
121120ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
12279zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
s  e.  CC )
123121, 122, 40, 102divmulap2d 8029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  <-> 
N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s ) ) )
124 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ ) )
12569adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
r  e.  ZZ )
1265adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127 divgcdnnr 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
128126, 36, 127syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
129128ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
130 eleq1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
131130eqcoms 2086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
132131adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( s  e.  NN  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN ) )
133129, 132mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
s  e.  NN )
134125, 133jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )
135124, 134jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )
136 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )
137 nnz 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  e.  NN  ->  s  e.  ZZ )
138137adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  s  e.  ZZ )
139138anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
140139adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
141 dvdsmul2 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  s  ||  ( k  x.  s ) )
142140, 141syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  s  ||  (
k  x.  s ) )
143 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  <->  s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
) ) )
144 zsubcl 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
145144zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
146145adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
147 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( r  e.  ZZ  ->  r  e.  CC )
148147ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  r  e.  CC )
149148adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  r  e.  CC )
150146, 149mulcomd 7254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  x.  r )  =  ( r  x.  ( A  -  B ) ) )
151150breq2d 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  <->  s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) ) ) )
152137anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
153 gcdcom 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
154152, 153syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( r  gcd  s
)  =  ( s  gcd  r ) )
155154eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <-> 
( s  gcd  r
)  =  1 ) )
156155ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  <->  ( s  gcd  r )  =  1 ) )
157152adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )
158157ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) )
159144, 158anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ ) ) )
160159ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
161 df-3an 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  <->  ( (
s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ )  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ ) )
162160, 161sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ ) )
163 coprmdvds 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( s  ||  (
r  x.  ( A  -  B ) )  /\  ( s  gcd  r )  =  1 )  ->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
164162, 163syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
s  ||  ( A  -  B ) ) )
165 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  s  e.  NN )
166165anim2i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  s  e.  NN ) )
167166ancomd 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
168 3anass 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( s  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
169167, 168sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
170 moddvds 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( s  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s )  <->  s  ||  ( A  -  B
) ) )
171169, 170syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
)  <->  s  ||  ( A  -  B )
) )
172164, 171sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s 
||  ( r  x.  ( A  -  B
) )  /\  (
s  gcd  r )  =  1 )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) )
173172expcomd 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( s  gcd  r )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
174156, 173sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
175174com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( r  x.  ( A  -  B )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
176151, 175sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
177176com3l 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s 
||  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
178143, 177syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  (
s  ||  ( k  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) ) )
179178com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( s  ||  ( k  x.  s
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
180142, 179mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) ) )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s
) ) ) )
181180ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
1821813adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
183182adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  (
r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN )
)  ->  ( (
r  gcd  s )  =  1  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  s
)  =  ( B  mod  s ) ) ) ) )
184183impl 372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
185184adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
186185imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
187 eqtr2 2101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  M  =  s )
188 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  s
) )
189 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  =  s  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  s
) )
190188, 189eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
191187, 190syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
192191ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  M  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
193192eqcoms 2086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
194193ad2antll 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
195194ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) ) )
196195imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
197196adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  s )  =  ( B  mod  s ) ) )
198186, 197sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  /\  ( r  gcd  s
)  =  1 )  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
199198ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  NN ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
200135, 136, 199syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  =  s )  -> 
( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
201200ex 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  / 
( C  gcd  N
) )  =  s  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
202123, 201sylbird 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  ->  ( ( r  gcd  s )  =  1  ->  ( (
k  x.  s )  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) ) )
203202com3l 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) )
204203a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  ->  ( N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  ->  (
( r  gcd  s
)  =  1  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) ) ) )
2052043imp 1133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N )  x.  s )  /\  (
r  gcd  s )  =  1 )  -> 
( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  x.  s )  =  ( ( A  -  B
)  x.  r )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) ) )
206205impcom 123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  -  B )  x.  r )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
207118, 206sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  s
)  =  ( ( A  x.  r )  -  ( B  x.  r ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
208105, 207sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  (
( C  gcd  N
)  x.  s ) )  =  ( ( A  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) )  -  ( B  x.  ( ( C  gcd  N )  x.  r ) ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) )
20931, 208sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  /\  ( C  =  (
( C  gcd  N
)  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 ) )  ->  (
( k  x.  N
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) )  -> 
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M ) ) )
210209ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( r  e.  ZZ  /\  s  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
211210rexlimdvva 2489 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. r  e.  ZZ  E. s  e.  ZZ  ( C  =  ( ( C  gcd  N )  x.  r )  /\  N  =  ( ( C  gcd  N
)  x.  s )  /\  ( r  gcd  s )  =  1 )  ->  ( (
k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
) ) ) )
21222, 211mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
213212rexlimdva 2482 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  N )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
2147, 213sylbid 148 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  ->  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095   1c1 7096    x. cmul 7100    - cmin 7398   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    mod cmo 9456    || cdvds 10403    gcd cgcd 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546
This theorem is referenced by:  cncongr  10694
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