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Theorem cncongr2 10693
Description: The other direction of the bicondition in cncongr 10694. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
cncongr2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )

Proof of Theorem cncongr2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 980 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  C  e.  ZZ )
2 0z 8495 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
3 zdceq 8556 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  C  =  0 )
42, 3mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  -> DECID  C  =  0
)
5 exmiddc 778 . . . . . 6  |-  (DECID  C  =  0  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
64, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  -.  C  =  0
) )
7 df-ne 2250 . . . . . 6  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
87orbi2i 712 . . . . 5  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  <-> 
( C  =  0  \/  -.  C  =  0 ) )
96, 8sylibr 132 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C  =  0  \/  C  =/=  0 ) )
10 zcn 8489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
1110mul01d 7616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
12113ad2ant1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
13 zcn 8489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
1413mul01d 7616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
15143ad2ant2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
1612, 15eqtr4d 2118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1716adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( B  x.  0 ) )
1817oveq1d 5578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
1918adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  0 )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N ) )
20 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( A  x.  C )  =  ( A  x.  0 ) )
2120oveq1d 5578 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  0 )  mod 
N ) )
22 oveq2 5571 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  0  ->  ( B  x.  C )  =  ( B  x.  0 ) )
2322oveq1d 5578 . . . . . . 7  |-  ( C  =  0  ->  (
( B  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod 
N ) )
2421, 23eqeq12d 2097 . . . . . 6  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N )  <->  ( ( A  x.  0 )  mod  N )  =  ( ( B  x.  0 )  mod  N
) ) )
2519, 24syl5ibr 154 . . . . 5  |-  ( C  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
26 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( A  mod  M )  =  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
27 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  ( B  mod  M )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
2826, 27eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  ->  (
( A  mod  M
)  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
2928adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M )  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
3029adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  ( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) ) )
31 simpl 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
32 simp3 941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
33 divgcdnnr 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN )
3431, 32, 33syl2anr 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  NN )
35 simpl1 942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
36 simpl2 943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
37 moddvds 10412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  =  ( B  mod  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  <->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )
) )
3934nnzd 8601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( N  / 
( C  gcd  N
) )  e.  ZZ )
40 zsubcl 8525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41403adant3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
4241adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
43 divides 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  (
( N  /  ( C  gcd  N ) ) 
||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B ) ) )
4439, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( N  /  ( C  gcd  N ) )  ||  ( A  -  B )  <->  E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
4530, 38, 443bitrd 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
46 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
4739adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
4946, 48zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  ZZ )
5049zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  e.  CC )
5140zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
52513adant3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5352ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
5432zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
5554ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
56 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  C  =/=  0 )
5756adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  =/=  0 )
5832ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
59 0zd 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
60 zapne 8555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0 ) )
6158, 59, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( C #  0  <->  C  =/=  0
) )
6257, 61mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  C #  0 )
6350, 53, 55, 62mulcanap2d 7871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
) ) )
64 zcn 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
65 subdir 7609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6610, 13, 64, 65syl3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
6766ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C )
) )
6867eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  -  B
)  x.  C )  <-> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) ) )
6963, 68bitr3d 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  <->  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
70 nnz 8503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
7170adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
72 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
7372zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
7473adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  CC )
7554adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  CC )
76 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
7776nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
7832, 77anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
79 gcdcl 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( C  gcd  N
)  e.  NN0 )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  NN0 )
8180nn0cnd 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  CC )
82 nnne0 8186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8382neneqd 2270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
8483adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  -.  N  =  0 )
8584adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  N  =  0 )
8685intnand 874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
87 gcdeq0 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8878, 87syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =  0  <->  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
8988necon3abid 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N )  =/=  0  <->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
9086, 89mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  =/=  0
)
9180nn0zd 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N )  e.  ZZ )
92 0zd 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  ZZ )
93 zapne 8555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( C  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <->  ( C  gcd  N )  =/=  0
) )
9491, 92, 93syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( ( C  gcd  N ) #  0  <-> 
( C  gcd  N
)  =/=  0 ) )
9590, 94mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  gcd  N ) #  0 )
9674, 75, 81, 95divassapd 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  =  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
9772adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  k  e.  ZZ )
9870, 82jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
9998adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
10032, 99anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
101 3anass 924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) ) )
102100, 101sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
103 divgcdz 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( C  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
10597, 104zmulcld 8608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  ( C  /  ( C  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
10696, 105eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )
107 dvdsmul1 10425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10871, 106, 107syl2an2 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  ( N  x.  ( (
k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
10976nncnd 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
110109adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
111 divmulasscomap 7903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( ( C  gcd  N )  e.  CC  /\  ( C  gcd  N ) #  0 ) )  -> 
( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
11274, 110, 75, 81, 95, 111syl32anc 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( N  x.  ( ( k  x.  C )  /  ( C  gcd  N ) ) ) )
113108, 112breqtrrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
114113exp32 357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N 
||  ( ( k  x.  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) )  x.  C ) ) ) )
115114adantrd 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  -> 
( k  e.  ZZ  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) ) )
116115imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
117116adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( k  e.  ZZ  ->  N  ||  (
( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) ) )
118117imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C ) )
119 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  ( N  ||  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  <-> 
N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
120118, 119syl5ibcom 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  x.  C )  =  ( ( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) )  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12169, 120sylbid 148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
122121rexlimdva 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
12331adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
124 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C
)  e.  ZZ )
1251243adant2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
126125adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  ZZ )
127 zmulcl 8537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )
1281273adant1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
129128adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  ZZ )
130 moddvds 10412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( B  x.  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
131123, 126, 129, 130syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
132131adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( (
( A  x.  C
)  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod 
N )  <->  N  ||  (
( A  x.  C
)  -  ( B  x.  C ) ) ) )
133122, 132sylibrd 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  C  =/=  0
)  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
134133ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( E. k  e.  ZZ  (
k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) ) )
135134com23 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) )  =  ( A  -  B )  -> 
( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N
)  =  ( ( B  x.  C )  mod  N ) ) ) )
13645, 135sylbid 148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C )  mod  N
) ) ) )
137136imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( C  =/=  0  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
138137com12 30 . . . . 5  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
13925, 138jaoi 669 . . . 4  |-  ( ( C  =  0  \/  C  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1409, 139syl 14 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
1411, 140mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  / 
( C  gcd  N
) ) ) )  /\  ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M ) )  ->  ( ( A  x.  C )  mod 
N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
)
142141ex 113 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  NN  /\  M  =  ( N  /  ( C  gcd  N ) ) ) )  ->  ( ( A  mod  M )  =  ( B  mod  M
)  ->  ( ( A  x.  C )  mod  N )  =  ( ( B  x.  C
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2249   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095    x. cmul 7100    - cmin 7398   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   NN0cn0 8407   ZZcz 8484    mod cmo 9456    || cdvds 10403    gcd cgcd 10545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546
This theorem is referenced by:  cncongr  10694
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