ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnv0 Unicode version

Theorem cnv0 4757
Description: The converse of the empty set. (Contributed by NM, 6-Apr-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnv0  |-  `' (/)  =  (/)

Proof of Theorem cnv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4733 . 2  |-  Rel  `' (/)
2 rel0 4490 . 2  |-  Rel  (/)
3 vex 2605 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4 vex 2605 . . . 4  |-  y  e. 
_V
53, 4opelcnv 4545 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
6 noel 3262 . . . 4  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
7 noel 3262 . . . 4  |-  -.  <. y ,  x >.  e.  (/)
86, 72false 650 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  <->  <. y ,  x >.  e.  (/) )
95, 8bitr4i 185 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' (/)  <->  <. x ,  y
>.  e.  (/) )
101, 2, 9eqrelriiv 4460 1  |-  `' (/)  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1285    e. wcel 1434   (/)c0 3258   <.cop 3409   `'ccnv 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379
This theorem is referenced by:  xp0  4773  cnveq0  4807  co01  4865  f10  5191  f1o00  5192  tpos0  5923
  Copyright terms: Public domain W3C validator