ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvcnvsn Unicode version

Theorem cnvcnvsn 4985
Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 4991, this does not need any sethood assumptions on  A and  B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvcnvsn  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4887 . 2  |-  Rel  `' `' { <. A ,  B >. }
2 relcnv 4887 . 2  |-  Rel  `' { <. B ,  A >. }
3 vex 2663 . . . 4  |-  y  e. 
_V
4 vex 2663 . . . 4  |-  x  e. 
_V
53, 4opelcnv 4691 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' { <. A ,  B >. } )
6 ancom 264 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  x  =  B )  <->  ( x  =  B  /\  y  =  A )
)
73, 4opth 4129 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  <->  (
y  =  A  /\  x  =  B )
)
84, 3opth 4129 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. B ,  A >.  <-> 
( x  =  B  /\  y  =  A ) )
96, 7, 83bitr4i 211 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  <->  <. x ,  y >.  =  <. B ,  A >. )
103, 4opex 4121 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
1110elsn 3513 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
124, 3opex 4121 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1312elsn 3513 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. B ,  A >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. B ,  A >. )
149, 11, 133bitr4i 211 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. B ,  A >. } )
154, 3opelcnv 4691 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
163, 4opelcnv 4691 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' { <. B ,  A >. }  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. B ,  A >. } )
1714, 15, 163bitr4i 211 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
185, 17bitri 183 . 2  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' `' { <. A ,  B >. }  <->  <. y ,  x >.  e.  `' { <. B ,  A >. } )
191, 2, 18eqrelriiv 4603 1  |-  `' `' { <. A ,  B >. }  =  `' { <. B ,  A >. }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   {csn 3497   <.cop 3500   `'ccnv 4508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517
This theorem is referenced by:  rnsnopg  4987  cnvsn  4991
  Copyright terms: Public domain W3C validator