ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvdif Unicode version

Theorem cnvdif 4760
Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvdif  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )

Proof of Theorem cnvdif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4733 . 2  |-  Rel  `' ( A  \  B )
2 difss 3099 . . 3  |-  ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A
3 relcnv 4733 . . 3  |-  Rel  `' A
4 relss 4453 . . 3  |-  ( ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A  ->  ( Rel  `' A  ->  Rel  ( `' A  \  `' B ) ) )
52, 3, 4mp2 16 . 2  |-  Rel  ( `' A  \  `' B
)
6 eldif 2983 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( A  \  B
)  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
7 vex 2605 . . . 4  |-  x  e. 
_V
8 vex 2605 . . . 4  |-  y  e. 
_V
97, 8opelcnv 4545 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( A  \  B ) )
10 eldif 2983 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B ) )
117, 8opelcnv 4545 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' A  <->  <. y ,  x >.  e.  A )
127, 8opelcnv 4545 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1312notbii 627 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  `' B  <->  -.  <. y ,  x >.  e.  B
)
1411, 13anbi12i 448 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
1510, 14bitri 182 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
166, 9, 153bitr4i 210 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B
) )
171, 5, 16eqrelriiv 4460 1  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    \ cdif 2971    C_ wss 2974   <.cop 3409   `'ccnv 4370   Rel wrel 4376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator