Theorem cnvf1o 6115

Description: Describe a function that maps the elements of a set to its converse bijectively. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvf1o	|- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2137	. 2 |- ( x e. A |-> U. `' { x } ) = ( x e. A |-> U. `' { x } )
2		snexg 4103	. . . 4 |- ( x e. A -> { x } e. _V )
3		cnvexg 5071	. . . 4 |- ( { x } e. _V -> `' { x } e. _V )
4		uniexg 4356	. . . 4 |- ( `' { x } e. _V -> U. `' { x } e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( x e. A -> U. `' { x } e. _V )
6	5	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ x e. A ) -> U. `' { x } e. _V )
7		snexg 4103	. . . 4 |- ( y e. `' A -> { y } e. _V )
8		cnvexg 5071	. . . 4 |- ( { y } e. _V -> `' { y } e. _V )
9		uniexg 4356	. . . 4 |- ( `' { y } e. _V -> U. `' { y } e. _V )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( y e. `' A -> U. `' { y } e. _V )
11	10	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ y e. `' A ) -> U. `' { y } e. _V )
12		cnvf1olem 6114	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
13		relcnv 4912	. . . . 5 |- Rel `' A
14		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
15		cnvf1olem 6114	. . . . 5 |- ( ( Rel `' A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
16	13, 14, 15	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
17		dfrel2 4984	. . . . . . 7 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
18		eleq2 2201	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
19	17, 18	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
20	19	anbi1d 460	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
21	20	adantr 274	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
22	16, 21	mpbid 146	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) )
23	12, 22	impbida 585	. 2 |- ( Rel A -> ( ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) )
24	1, 6, 11, 23	f1od 5966	1 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   {csn 3522   U.cuni 3731   |-> cmpt 3984   `'ccnv 4533   Rel wrel 4539   -1-1-onto->wf1o 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1st 6031  df-2nd 6032

This theorem is referenced by:  tposf12  6159  cnven  6695  xpcomf1o  6712  fsumcnv  11199