Theorem cnvinfex 6905

Description: Two ways of expressing existence of an infimum (one in terms of converse). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvinfex.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnvinfex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   ph, y   ph, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)   B( x, y, z)   R( x, y, z)

Proof of Theorem cnvinfex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvinfex.ex	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 4722	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
6	5	notbid 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
7	6	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
8	3, 2	brcnv 4722	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10		vex 2689	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 4722	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
13	12	rexbidv 2438	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
14	9, 13	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
15	14	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	7, 15	anbi12d 464	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
17	16	rexbidv 2438	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
18	1, 17	mpbird 166	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547

This theorem is referenced by:  infvalti  6909  infclti  6910  inflbti  6911  infglbti  6912  infisoti  6919  infrenegsupex  9389  infxrnegsupex  11032