Theorem cnvpom 5076

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvpom	|- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvpom

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2556	. . . . . . 7 |- ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
2		ralidm 3458	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A -. w R w )
3		r19.3rmv 3448	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. A -> ( -. w R w <-> A. z e. A -. w R w ) )
4	3	ralbidv 2435	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A A. z e. A -. w R w ) )
5	2, 4	syl5rbb 192	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w <-> A. w e. A A. w e. A -. w R w ) )
6	5	anbi1d 460	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
7	1, 6	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
8		r19.26 2556	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
9	8	ralbii 2439	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
10		r19.26 2556	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
11	7, 9, 10	3bitr4g 222	. . . . 5 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
12		r19.26 2556	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
13		vex 2684	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
14	13, 13	brcnv 4717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R z <-> z R z )
15		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> z = w )
16	15, 15	breq12d 3937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( z R z <-> w R w ) )
17	14, 16	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( z `' R z <-> w R w ) )
18	17	notbid 656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( -. z `' R z <-> -. w R w ) )
19	18	cbvralv 2652	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. w e. A -. w R w )
20		vex 2684	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
21	13, 20	brcnv 4717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R y <-> y R z )
22		vex 2684	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
23	20, 22	brcnv 4717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' R w <-> w R y )
24	21, 23	anbi12ci 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z `' R y /\ y `' R w ) <-> ( w R y /\ y R z ) )
25	13, 22	brcnv 4717	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R w <-> w R z )
26	24, 25	imbi12i 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
27	26	ralbii 2439	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
28	19, 27	anbi12i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
29	12, 28	bitr2i 184	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
30	29	ralbii 2439	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
31		ralcom 2592	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
32	30, 31	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
33	11, 32	syl6bb 195	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
34	33	ralbidv 2435	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
35		ralcom 2592	. . 3 |- ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
36		ralcom 2592	. . 3 |- ( A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 222	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
38		df-po 4213	. 2 |- ( R Po A <-> A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
39		df-po 4213	. 2 |- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4g 222	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   `'ccnv 4533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-cnv 4542

This theorem is referenced by:  cnvsom  5077