Theorem cnvpom 4910

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvpom	|- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvpom

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2490	. . . . . . 7 |- ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
2		ralidm 3358	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A -. w R w )
3		r19.3rmv 3348	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. A -> ( -. w R w <-> A. z e. A -. w R w ) )
4	3	ralbidv 2373	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A A. z e. A -. w R w ) )
5	2, 4	syl5rbb 191	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w <-> A. w e. A A. w e. A -. w R w ) )
6	5	anbi1d 453	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
7	1, 6	syl5bb 190	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
8		r19.26 2490	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
9	8	ralbii 2377	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
10		r19.26 2490	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
11	7, 9, 10	3bitr4g 221	. . . . 5 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
12		r19.26 2490	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
13		vex 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
14	13, 13	brcnv 4566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R z <-> z R z )
15		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> z = w )
16	15, 15	breq12d 3818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( z R z <-> w R w ) )
17	14, 16	syl5bb 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( z `' R z <-> w R w ) )
18	17	notbid 625	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( -. z `' R z <-> -. w R w ) )
19	18	cbvralv 2582	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. w e. A -. w R w )
20		vex 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
21	13, 20	brcnv 4566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R y <-> y R z )
22		vex 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
23	20, 22	brcnv 4566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' R w <-> w R y )
24	21, 23	anbi12ci 449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z `' R y /\ y `' R w ) <-> ( w R y /\ y R z ) )
25	13, 22	brcnv 4566	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R w <-> w R z )
26	24, 25	imbi12i 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
27	26	ralbii 2377	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
28	19, 27	anbi12i 448	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
29	12, 28	bitr2i 183	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
30	29	ralbii 2377	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
31		ralcom 2522	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
32	30, 31	bitri 182	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
33	11, 32	syl6bb 194	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
34	33	ralbidv 2373	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
35		ralcom 2522	. . 3 |- ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
36		ralcom 2522	. . 3 |- ( A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 221	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
38		df-po 4079	. 2 |- ( R Po A <-> A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
39		df-po 4079	. 2 |- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4g 221	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805   Po wpo 4077   `'ccnv 4390

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-po 4079  df-cnv 4399

This theorem is referenced by:  cnvsom  4911