Theorem cnvsom 5077

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	|- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5076	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )
2		vex 2684	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		vex 2684	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4717	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
5		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	2, 5	brcnv 4717	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' R z <-> z R y )
7	5, 3	brcnv 4717	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
8	6, 7	orbi12i 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( z R y \/ x R z ) )
9		orcom 717	. . . . . . . . 9 |- ( ( z R y \/ x R z ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
10	8, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
11	4, 10	imbi12i 238	. . . . . . 7 |- ( ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
12	11	ralbii 2439	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
13	12	2ralbii 2441	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
14		ralcom 2592	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
15	13, 14	bitr3i 185	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
17	1, 16	anbi12d 464	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) ) )
18		df-iso 4214	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		df-iso 4214	. 2 |- ( `' R Or A <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 222	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212   `'ccnv 4533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-cnv 4542

This theorem is referenced by:  gtso  7836