Theorem cnvss 4707

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3086	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3925	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3925	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4195	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4542	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4542	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3135	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   {copab 3983   `'ccnv 4533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-in 3072  df-ss 3079  df-br 3925  df-opab 3985  df-cnv 4542

This theorem is referenced by:  cnveq  4708  rnss  4764  relcnvtr  5053  funss  5137  funcnvuni  5187  funres11  5190  funcnvres  5191  foimacnv  5378  tposss  6136  structcnvcnv  11964