Theorem cnvsym 4922

Description: Two ways of saying a relation is symmetric. Similar to definition of symmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsym	|- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Distinct variable group:   x, y, R

Proof of Theorem cnvsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alcom 1454	. 2 |- ( A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
2		relcnv 4917	. . 3 |- Rel `' R
3		ssrel 4627	. . 3 |- ( Rel `' R -> ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( `' R C_ R <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
5		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
6		vex 2689	. . . . . 6 |- x e. _V
7	5, 6	brcnv 4722	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> x R y )
8		df-br 3930	. . . . 5 |- ( y `' R x <-> <. y , x >. e. `' R )
9	7, 8	bitr3i 185	. . . 4 |- ( x R y <-> <. y , x >. e. `' R )
10		df-br 3930	. . . 4 |- ( y R x <-> <. y , x >. e. R )
11	9, 10	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( x R y -> y R x ) <-> ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
12	11	2albii 1447	. 2 |- ( A. x A. y ( x R y -> y R x ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' R -> <. y , x >. e. R ) )
13	1, 4, 12	3bitr4i 211	1 |- ( `' R C_ R <-> A. x A. y ( x R y -> y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547

This theorem is referenced by:  dfer2  6430