ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  co02 Unicode version

Theorem co02 4864
Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
co02  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem co02
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4849 . 2  |-  Rel  ( A  o.  (/) )
2 rel0 4490 . 2  |-  Rel  (/)
3 noel 3262 . . . . . . 7  |-  -.  <. x ,  z >.  e.  (/)
4 df-br 3794 . . . . . . 7  |-  ( x
(/) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (/) )
53, 4mtbir 629 . . . . . 6  |-  -.  x (/) z
65intnanr 873 . . . . 5  |-  -.  (
x (/) z  /\  z A y )
76nex 1430 . . . 4  |-  -.  E. z ( x (/) z  /\  z A y )
8 vex 2605 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
9 vex 2605 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
108, 9opelco 4535 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  E. z
( x (/) z  /\  z A y ) )
117, 10mtbir 629 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )
12 noel 3262 . . 3  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1311, 122false 650 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  o.  (/) )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
141, 2, 13eqrelriiv 4460 1  |-  ( A  o.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   (/)c0 3258   <.cop 3409   class class class wbr 3793    o. ccom 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-co 4380
This theorem is referenced by:  co01  4865
  Copyright terms: Public domain W3C validator