ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  codir Unicode version

Theorem codir 4743
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z    x, R, y, z

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 4400 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 df-br 3794 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )
3 vex 2605 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
4 vex 2605 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5 brcodir 4742 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
63, 4, 5mp2an 417 . . . . 5  |-  ( x ( `' R  o.  R ) y  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
72, 6bitr3i 184 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R )  <->  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
81, 7imbi12i 237 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z ( x R z  /\  y R z ) ) )
982albii 1401 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
10 relxp 4475 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
11 ssrel 4454 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( `' R  o.  R
)  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( `' R  o.  R
) ) ) )
1210, 11ax-mp 7 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( `' R  o.  R ) ) )
13 r2al 2386 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z ( x R z  /\  y R z )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E. z
( x R z  /\  y R z ) ) )
149, 12, 133bitr4i 210 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( `' R  o.  R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  E. z
( x R z  /\  y R z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2349   _Vcvv 2602    C_ wss 2974   <.cop 3409   class class class wbr 3793    X. cxp 4369   `'ccnv 4370    o. ccom 4375   Rel wrel 4376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator