ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Unicode version

Theorem cofunex2g 5791
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 4905 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  `' A  e.  _V )
2 cofunexg 5790 . . . 4  |-  ( ( Fun  `' B  /\  `' A  e.  _V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
31, 2sylan2 280 . . 3  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
4 cnvco 4568 . . . . 5  |-  `' ( `' B  o.  `' A )  =  ( `' `' A  o.  `' `' B )
5 cocnvcnv2 4882 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  `' `' B )  =  ( `' `' A  o.  B
)
6 cocnvcnv1 4881 . . . . 5  |-  ( `' `' A  o.  B
)  =  ( A  o.  B )
74, 5, 63eqtrri 2108 . . . 4  |-  ( A  o.  B )  =  `' ( `' B  o.  `' A )
8 cnvexg 4905 . . . 4  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  `' ( `' B  o.  `' A )  e.  _V )
97, 8syl5eqel 2169 . . 3  |-  ( ( `' B  o.  `' A )  e.  _V  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
103, 9syl 14 . 2  |-  ( ( Fun  `' B  /\  A  e.  V )  ->  ( A  o.  B
)  e.  _V )
1110ancoms 264 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Fun  `' B )  ->  ( A  o.  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   `'ccnv 4390    o. ccom 4395   Fun wfun 4946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator