Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  conjmulap Unicode version

Theorem conjmulap 7936
 Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
conjmulap # #

Proof of Theorem conjmulap
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . . . 7 # #
2 simprl 498 . . . . . . 7 # #
3 recclap 7886 . . . . . . . 8 #
43adantr 270 . . . . . . 7 # #
51, 2, 4mul32d 7380 . . . . . 6 # #
6 recidap 7893 . . . . . . . 8 #
76oveq1d 5578 . . . . . . 7 #
87adantr 270 . . . . . 6 # #
9 mulid2 7231 . . . . . . 7
109ad2antrl 474 . . . . . 6 # #
115, 8, 103eqtrd 2119 . . . . 5 # #
12 recclap 7886 . . . . . . . 8 #
1312adantl 271 . . . . . . 7 # #
141, 2, 13mulassd 7256 . . . . . 6 # #
15 recidap 7893 . . . . . . . 8 #
1615oveq2d 5579 . . . . . . 7 #
1716adantl 271 . . . . . 6 # #
18 mulid1 7230 . . . . . . 7
1918ad2antrr 472 . . . . . 6 # #
2014, 17, 193eqtrd 2119 . . . . 5 # #
2111, 20oveq12d 5581 . . . 4 # #
22 mulcl 7214 . . . . . 6
2322ad2ant2r 493 . . . . 5 # #
2423, 4, 13adddid 7257 . . . 4 # #
25 addcom 7364 . . . . 5
2625ad2ant2r 493 . . . 4 # #
2721, 24, 263eqtr4d 2125 . . 3 # #
2822mulid1d 7250 . . . 4
2928ad2ant2r 493 . . 3 # #
3027, 29eqeq12d 2097 . 2 # #
31 addcl 7212 . . . 4
323, 12, 31syl2an 283 . . 3 # #
33 mulap0 7863 . . 3 # # #
34 ax-1cn 7183 . . . 4
35 mulcanap 7874 . . . 4 #
3634, 35mp3an2 1257 . . 3 #
3732, 23, 33, 36syl12anc 1168 . 2 # #
38 eqcom 2085 . . . 4
39 muleqadd 7877 . . . 4
4038, 39syl5bb 190 . . 3
4140ad2ant2r 493 . 2 # #
4230, 37, 413bitr3d 216 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  cc 7093  cc0 7095  c1 7096   caddc 7098   cmul 7100   cmin 7398   # cap 7800   cdiv 7879 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator