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Theorem coundir 4853
Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
coundir  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coundir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopab 3865 . . 3  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }
2 brun 3839 . . . . . . . 8  |-  ( y ( A  u.  B
) z  <->  ( y A z  \/  y B z ) )
32anbi2i 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) ) )
4 andi 765 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) )  <->  ( (
x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) ) )
53, 4bitri 182 . . . . . 6  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
65exbii 1537 . . . . 5  |-  ( E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <->  E. y
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
7 19.43 1560 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) )  <->  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/  E. y ( x C y  /\  y B z ) ) )
86, 7bitr2i 183 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) )  <->  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) )
98opabbii 3853 . . 3  |-  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
101, 9eqtri 2102 . 2  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
11 df-co 4380 . . 3  |-  ( A  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y A z ) }
12 df-co 4380 . . 3  |-  ( B  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y B z ) }
1311, 12uneq12i 3125 . 2  |-  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C ) )  =  ( { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )
14 df-co 4380 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
1510, 13, 143eqtr4ri 2113 1  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    \/ wo 662    = wceq 1285   E.wex 1422    u. cun 2972   class class class wbr 3793   {copab 3846    o. ccom 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-br 3794  df-opab 3848  df-co 4380
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