ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  crap0 Unicode version

Theorem crap0 8102
Description: The real representation of complex numbers is apart from zero iff one of its terms is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
crap0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A #  0  \/  B #  0 )  <-> 
( A  +  ( _i  x.  B ) ) #  0 ) )

Proof of Theorem crap0
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7133 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
21mul01i 7562 . . . . 5  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
32oveq2i 5554 . . . 4  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  ( 0  +  0 )
4 00id 7316 . . . 4  |-  ( 0  +  0 )  =  0
53, 4eqtri 2102 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  =  0
65breq2i 3801 . 2  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) #  0 )
7 0re 7181 . . 3  |-  0  e.  RR
8 apreim 7770 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  e.  RR  /\  0  e.  RR ) )  -> 
( ( A  +  ( _i  x.  B
) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( A #  0  \/  B #  0
) ) )
97, 7, 8mpanr12 430 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) ) #  ( 0  +  ( _i  x.  0 ) )  <->  ( A #  0  \/  B #  0
) ) )
106, 9syl5rbbr 193 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A #  0  \/  B #  0 )  <-> 
( A  +  ( _i  x.  B ) ) #  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   _ici 7045    + caddc 7046    x. cmul 7048   # cap 7748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-ltxr 7220  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749
This theorem is referenced by:  abs00ap  10086
  Copyright terms: Public domain W3C validator