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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > crre | Unicode version |
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
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crre |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | recn 7220 |
. . . 4
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2 | ax-icn 7185 |
. . . . 5
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3 | recn 7220 |
. . . . 5
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4 | mulcl 7214 |
. . . . 5
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5 | 2, 3, 4 | sylancr 405 |
. . . 4
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6 | addcl 7212 |
. . . 4
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7 | 1, 5, 6 | syl2an 283 |
. . 3
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8 | reval 9937 |
. . 3
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9 | 7, 8 | syl 14 |
. 2
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10 | cjcl 9936 |
. . . . . 6
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11 | 7, 10 | syl 14 |
. . . . 5
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12 | 7, 11 | addcld 7252 |
. . . 4
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13 | 12 | halfcld 8394 |
. . 3
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14 | 1 | adantr 270 |
. . 3
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15 | recl 9941 |
. . . . . . 7
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16 | 7, 15 | syl 14 |
. . . . . 6
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17 | 9, 16 | eqeltrrd 2160 |
. . . . 5
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18 | simpl 107 |
. . . . 5
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19 | 17, 18 | resubcld 7604 |
. . . 4
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20 | 2 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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21 | 3 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
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22 | 2, 21, 4 | sylancr 405 |
. . . . . . 7
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23 | 7, 11 | subcld 7538 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | halfcld 8394 |
. . . . . . 7
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25 | 20, 22, 24 | subdid 7637 |
. . . . . 6
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26 | 14, 22, 14 | pnpcand 7575 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 22, 14, 22 | pnpcan2d 7576 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 26, 27 | eqtr4d 2118 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | oveq1d 5578 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 14, 14 | addcld 7252 |
. . . . . . . . . . . . 13
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31 | 7, 11, 30 | addsubd 7559 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 22, 22 | addcld 7252 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32, 7, 11 | subsubd 7566 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 29, 31, 33 | 3eqtr4d 2125 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 14 | 2timesd 8392 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | oveq2d 5579 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 22 | 2timesd 8392 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | oveq1d 5578 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 34, 36, 38 | 3eqtr4d 2125 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | oveq1d 5578 |
. . . . . . . . 9
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41 | 2cn 8229 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | mulcl 7214 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 14, 42 | sylancr 405 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 41 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 2ap0 8251 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 45 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 12, 43, 44, 46 | divsubdirapd 8035 |
. . . . . . . . 9
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48 | mulcl 7214 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 41, 22, 48 | sylancr 405 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 49, 23, 44, 46 | divsubdirapd 8035 |
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51 | 40, 47, 50 | 3eqtr3d 2123 |
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52 | 14, 44, 46 | divcanap3d 8001 |
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53 | 52 | oveq2d 5579 |
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54 | 22, 44, 46 | divcanap3d 8001 |
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55 | 54 | oveq1d 5578 |
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56 | 51, 53, 55 | 3eqtr3d 2123 |
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57 | 56 | oveq2d 5579 |
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58 | 20, 20, 21 | mulassd 7256 |
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59 | 20, 23, 44, 46 | divassapd 8031 |
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60 | 58, 59 | oveq12d 5581 |
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61 | 25, 57, 60 | 3eqtr4d 2125 |
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62 | ixi 7802 |
. . . . . . . 8
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63 | neg1rr 8264 |
. . . . . . . 8
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64 | 62, 63 | eqeltri 2155 |
. . . . . . 7
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65 | simpr 108 |
. . . . . . 7
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66 | remulcl 7215 |
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67 | 64, 65, 66 | sylancr 405 |
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68 | cjth 9934 |
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69 | 68 | simprd 112 |
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71 | 70 | rehalfcld 8396 |
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72 | 67, 71 | resubcld 7604 |
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73 | 61, 72 | eqeltrd 2159 |
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74 | rimul 7804 |
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75 | 19, 73, 74 | syl2anc 403 |
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76 | 13, 14, 75 | subeq0d 7546 |
. 2
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77 | 9, 76 | eqtrd 2115 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-sep 3916 ax-pow 3968 ax-pr 3992 ax-un 4216 ax-setind 4308 ax-cnex 7181 ax-resscn 7182 ax-1cn 7183 ax-1re 7184 ax-icn 7185 ax-addcl 7186 ax-addrcl 7187 ax-mulcl 7188 ax-mulrcl 7189 ax-addcom 7190 ax-mulcom 7191 ax-addass 7192 ax-mulass 7193 ax-distr 7194 ax-i2m1 7195 ax-0lt1 7196 ax-1rid 7197 ax-0id 7198 ax-rnegex 7199 ax-precex 7200 ax-cnre 7201 ax-pre-ltirr 7202 ax-pre-ltwlin 7203 ax-pre-lttrn 7204 ax-pre-apti 7205 ax-pre-ltadd 7206 ax-pre-mulgt0 7207 ax-pre-mulext 7208 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-nel 2345 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rmo 2361 df-rab 2362 df-v 2612 df-sbc 2825 df-dif 2984 df-un 2986 df-in 2988 df-ss 2995 df-pw 3402 df-sn 3422 df-pr 3423 df-op 3425 df-uni 3622 df-br 3806 df-opab 3860 df-mpt 3861 df-id 4076 df-po 4079 df-iso 4080 df-xp 4397 df-rel 4398 df-cnv 4399 df-co 4400 df-dm 4401 df-rn 4402 df-res 4403 df-ima 4404 df-iota 4917 df-fun 4954 df-fn 4955 df-f 4956 df-fv 4960 df-riota 5519 df-ov 5566 df-oprab 5567 df-mpt2 5568 df-pnf 7269 df-mnf 7270 df-xr 7271 df-ltxr 7272 df-le 7273 df-sub 7400 df-neg 7401 df-reap 7794 df-ap 7801 df-div 7880 df-2 8217 df-cj 9930 df-re 9931 |
This theorem is referenced by: crim 9946 replim 9947 mulreap 9952 recj 9955 reneg 9956 readd 9957 remullem 9959 rei 9987 crrei 10024 crred 10064 rennim 10089 absreimsq 10154 |
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