Theorem csbprc 3408

Description: The proper substitution of a proper class for a set into a class results in the empty set. (Contributed by NM, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbprc	|- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Proof of Theorem csbprc

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csb 3004	. 2 |- [_ A / x ]_ B = { y | [. A / x ]. y e. B }
2		sbcex 2917	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. y e. B -> A e. _V )
3	2	con3i 621	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> -. [. A / x ]. y e. B )
4	3	pm2.21d 608	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B -> F. ) )
5		falim 1345	. . . . 5 |- ( F. -> [. A / x ]. y e. B )
6	4, 5	impbid1 141	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> F. ) )
7	6	abbidv 2257	. . 3 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = { y | F. } )
8		fal 1338	. . . 4 |- -. F.
9	8	abf 3406	. . 3 |- { y | F. } = (/)
10	7, 9	syl6eq 2188	. 2 |- ( -. A e. _V -> { y | [. A / x ]. y e. B } = (/) )
11	1, 10	syl5eq 2184	1 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1331   F. wfal 1336   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   [.wsbc 2909   [_csb 3003   (/)c0 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364

This theorem is referenced by: (None)