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Theorem csbxpg 4467
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )

Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 2972 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) } )
2 sbcexg 2877 . . . . 5  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
3 sbcexg 2877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
4 sbcang 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
5 sbcg 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
) )
6 sbcang 2866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) ) )
7 sbcel2g 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
8 sbcel2g 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
97, 8anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  (
( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
106, 9bitrd 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
115, 10anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  (
( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
124, 11bitrd 186 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1312exbidv 1748 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  ->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
143, 13bitrd 186 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1514exbidv 1748 . . . . 5  |-  ( A  e.  D  ->  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
162, 15bitrd 186 . . . 4  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1716abbidv 2200 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
181, 17eqtrd 2115 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
19 df-xp 4397 . . . 4  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,  y
>.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
20 df-opab 3860 . . . 4  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }
2119, 20eqtri 2103 . . 3  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
2221csbeq2i 2941 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
23 df-xp 4397 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { <. w ,  y >.  |  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
24 df-opab 3860 . . 3  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
2523, 24eqtri 2103 . 2  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
2618, 22, 253eqtr4g 2140 1  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2069   [.wsbc 2824   [_csb 2917   <.cop 3419   {copab 3858    X. cxp 4389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-opab 3860  df-xp 4397
This theorem is referenced by:  csbresg  4663
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