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Theorem csbxpg 4615
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 3056 . . 3 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } )
2 sbcexg 2958 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
3 sbcexg 2958 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
4 sbcang 2947 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
5 sbcg 2973 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. <-> z = <. w , y >. ) )
6 sbcang 2947 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) ) )
7 sbcel2g 3018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. w e. B <-> w e. [_ A / x ]_ B ) )
8 sbcel2g 3018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
97, 8anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
106, 9bitrd 187 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
115, 10anbi12d 464 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
124, 11bitrd 187 . . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1312exbidv 1797 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
143, 13bitrd 187 . . . . . 6 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1514exbidv 1797 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
162, 15bitrd 187 . . . 4 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1716abbidv 2255 . . 3 |- ( A e. D -> { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
181, 17eqtrd 2170 . 2 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
19 df-xp 4540 . . . 4 |- ( B X. C ) = { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) }
20 df-opab 3985 . . . 4 |- { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2119, 20eqtri 2158 . . 3 |- ( B X. C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2221csbeq2i 3024 . 2 |- [_ A / x ]_ ( B X. C ) = [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
23 df-xp 4540 . . 3 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) }
24 df-opab 3985 . . 3 |- { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2523, 24eqtri 2158 . 2 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2618, 22, 253eqtr4g 2195 1 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2123   [.wsbc 2904   [_csb 2998   <.cop 3525   {copab 3983   X. cxp 4532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-opab 3985  df-xp 4540
This theorem is referenced by:  csbresg  4817
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