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Theorem cvg1nlemcau 9997
Description: Lemma for cvg1n 9999. By selecting spaced out terms for the modified sequence  G, the terms are within  1  /  n (without the constant  C). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
cvg1nlem.g  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
cvg1nlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
cvg1nlem.start  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, n, k   
n, F, j, k   
j, Z    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j)    G( j, k, n)    Z( k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  NN )
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
32ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  F : NN
--> RR )
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
54ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  NN )
61, 5nnmulcld 8143 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  NN )
73, 6ffvelrnd 5329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  e.  RR )
8 oveq1 5544 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
j  x.  Z )  =  ( n  x.  Z ) )
98fveq2d 5207 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
n  x.  Z ) ) )
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
119, 10fvmptg 5274 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( F `  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  n
)  =  ( F `
 ( n  x.  Z ) ) )
121, 7, 11syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  =  ( F `  ( n  x.  Z ) ) )
1312, 7eqeltrd 2156 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR )
14 eluznn 8757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
1514adantll 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
1615, 5nnmulcld 8143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  NN )
173, 16ffvelrnd 5329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  e.  RR )
18 oveq1 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  x.  Z )  =  ( k  x.  Z ) )
1918fveq2d 5207 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
k  x.  Z ) ) )
2019, 10fvmptg 5274 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( F `  ( k  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  k
)  =  ( F `
 ( k  x.  Z ) ) )
2115, 17, 20syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( k  x.  Z ) ) )
2221, 17eqeltrd 2156 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2423rpred 8843 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2524ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  e.  RR )
2625, 6nndivred 8144 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  e.  RR )
2722, 26readdcld 7199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
281nnrecred 8141 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
2922, 28readdcld 7199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
30 eluzle 8701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  n  <_  k )
3130adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  <_  k )
321nnred 8108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR )
3315nnred 8108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  RR )
345nnrpd 8842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR+ )
3532, 33, 34lemul1d 8887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  <_  k  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
3631, 35mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) )
376nnzd 8538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  ZZ )
3816nnzd 8538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  ZZ )
39 eluz 8702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  Z
)  e.  ZZ  /\  ( k  x.  Z
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
4037, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  (
n  x.  Z ) )  <->  ( n  x.  Z )  <_  (
k  x.  Z ) ) )
4136, 40mpbird 165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  x.  Z )  e.  (
ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
42 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
43 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  b  ->  ( F `  k )  =  ( F `  b ) )
4443oveq1d 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) ) )
4544breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4643breq1d 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4745, 46anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  b  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 n )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) ) )
4847cbvralv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) ) )
4948ralbii 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
50 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  a )
)
51 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  ( F `  n )  =  ( F `  a ) )
52 oveq2 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  ( C  /  n )  =  ( C  /  a
) )
5352oveq2d 5553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) ) )
5451, 53breq12d 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5551, 52oveq12d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )
5655breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  a  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
5754, 56anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  a  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 a )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
5850, 57raleqbidv 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  a  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 n )  +  ( C  /  n
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) ) )
5958cbvralv 2578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6049, 59bitri 182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6142, 60sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) ) )
6261ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) ) )
63 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  a )  =  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) )
64 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( n  x.  Z
) ) )
65 oveq2 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( C  /  a )  =  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )
6665oveq2d 5553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
6764, 66breq12d 3800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
6864, 65oveq12d 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) )  =  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
6968breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  a )  +  ( C  / 
a ) )  <->  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
7067, 69anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  (
( ( F `  a )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  a ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  a
)  +  ( C  /  a ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  b )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 b )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
7163, 70raleqbidv 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( n  x.  Z )  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( F `  a
)  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
a ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 a )  +  ( C  /  a
) ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) ) )
7271rspcv 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  x.  Z )  e.  NN  ->  ( A. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( F `  a )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  a
) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  a )  +  ( C  /  a ) ) )  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) ) )
736, 62, 72sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z ) ) ( ( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) )
74 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( k  x.  Z
) ) )
7574oveq1d 5552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  =  ( ( F `
 ( k  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )
7675breq2d 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  b )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
7774breq1d 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( F `  b
)  <  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
7876, 77anbi12d 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( k  x.  Z )  ->  (
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  b
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  b )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
7978rspcv 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  x.  Z )  e.  ( ZZ>= `  (
n  x.  Z ) )  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>= `  ( n  x.  Z
) ) ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  <  ( ( F `
 b )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  b )  <  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )  ->  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( F `  ( k  x.  Z ) )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  ( k  x.  Z ) )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8041, 73, 79sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8121oveq1d 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8281breq2d 3799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
k  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8321breq1d 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( k  x.  Z
) )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8482, 83anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( F `  (
n  x.  Z ) )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( F `
 ( n  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( k  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 ( k  x.  Z ) )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
8580, 84mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8612breq1d 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  ( n  x.  Z
) )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8712oveq1d 5552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  =  ( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
8887breq2d 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  <->  ( G `  k )  <  (
( F `  (
n  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
8986, 88anbi12d 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
( G `  n
)  <  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `
 n )  +  ( C  /  (
n  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `  ( n  x.  Z ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( F `  ( n  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) ) )
9085, 89mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) ) )
9190simpld 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
925nnred 8108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  RR )
931nnrpd 8842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
94 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
9594ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  C  <  Z )
9625, 92, 93, 95ltmul1dd 8899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
)
976nncnd 8109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  CC )
9897mulid2d 7188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( 1  x.  ( n  x.  Z ) )  =  ( n  x.  Z
) )
9998breq2d 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  x.  n )  <  (
n  x.  Z ) ) )
100 1red 7185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  1  e.  RR )
1016nnrpd 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  e.  RR+ )
10225, 93, 100, 101lt2mul2divd 8906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( 1  x.  (
n  x.  Z ) )  <->  ( C  / 
( n  x.  Z
) )  <  (
1  /  n ) ) )
1031nncnd 8109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  n  e.  CC )
1045nncnd 8109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  Z  e.  CC )
105103, 104mulcomd 7191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( n  x.  Z )  =  ( Z  x.  n ) )
106105breq2d 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  x.  n )  <  ( n  x.  Z
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10799, 102, 1063bitr3d 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
)  <->  ( C  x.  n )  <  ( Z  x.  n )
) )
10896, 107mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( C  /  ( n  x.  Z ) )  < 
( 1  /  n
) )
10926, 28, 22, 108ltadd2dd 7582 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  k )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) ) )
11013, 27, 29, 91, 109lttrd 7291 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) ) )
11113, 26readdcld 7199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  e.  RR )
11213, 28readdcld 7199 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11390simprd 112 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( C  /  ( n  x.  Z ) ) ) )
11426, 28, 13, 108ltadd2dd 7582 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  +  ( C  / 
( n  x.  Z
) ) )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) )
11522, 111, 112, 113, 114lttrd 7291 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) )
116110, 115jca 300 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( G `  n )  <  ( ( G `  k )  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `
 k )  < 
( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
117116ralrimiva 2435 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( G `  n )  <  (
( G `  k
)  +  ( 1  /  n ) )  /\  ( G `  k )  <  (
( G `  n
)  +  ( 1  /  n ) ) ) )
118117ralrimiva 2435 1  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   class class class wbr 3787    |-> cmpt 3841   -->wf 4922   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   RRcr 7031   1c1 7033    + caddc 7035    x. cmul 7037    < clt 7204    <_ cle 7205    / cdiv 7816   NNcn 8095   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689   RR+crp 8804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805
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