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Theorem cvg1nlemcau 9997
 Description: Lemma for cvg1n 9999. By selecting spaced out terms for the modified sequence , the terms are within (without the constant ). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f
cvg1n.c
cvg1n.cau
cvg1nlem.g
cvg1nlem.z
cvg1nlem.start
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemcau
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   (,)

Proof of Theorem cvg1nlemcau
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 497 . . . . . . 7
2 cvg1n.f . . . . . . . . 9
32ad2antrr 472 . . . . . . . 8
4 cvg1nlem.z . . . . . . . . . 10
54ad2antrr 472 . . . . . . . . 9
61, 5nnmulcld 8143 . . . . . . . 8
73, 6ffvelrnd 5329 . . . . . . 7
8 oveq1 5544 . . . . . . . . 9
98fveq2d 5207 . . . . . . . 8
10 cvg1nlem.g . . . . . . . 8
119, 10fvmptg 5274 . . . . . . 7
121, 7, 11syl2anc 403 . . . . . 6
1312, 7eqeltrd 2156 . . . . 5
14 eluznn 8757 . . . . . . . . 9
1514adantll 460 . . . . . . . 8
1615, 5nnmulcld 8143 . . . . . . . . 9
173, 16ffvelrnd 5329 . . . . . . . 8
18 oveq1 5544 . . . . . . . . . 10
1918fveq2d 5207 . . . . . . . . 9
2019, 10fvmptg 5274 . . . . . . . 8
2115, 17, 20syl2anc 403 . . . . . . 7
2221, 17eqeltrd 2156 . . . . . 6
23 cvg1n.c . . . . . . . . 9
2423rpred 8843 . . . . . . . 8
2524ad2antrr 472 . . . . . . 7
2625, 6nndivred 8144 . . . . . 6
2722, 26readdcld 7199 . . . . 5
281nnrecred 8141 . . . . . 6
2922, 28readdcld 7199 . . . . 5
30 eluzle 8701 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 271 . . . . . . . . . . 11
321nnred 8108 . . . . . . . . . . . 12
3315nnred 8108 . . . . . . . . . . . 12
345nnrpd 8842 . . . . . . . . . . . 12
3532, 33, 34lemul1d 8887 . . . . . . . . . . 11
3631, 35mpbid 145 . . . . . . . . . 10
376nnzd 8538 . . . . . . . . . . 11
3816nnzd 8538 . . . . . . . . . . 11
39 eluz 8702 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . 10
4136, 40mpbird 165 . . . . . . . . 9
42 cvg1n.cau . . . . . . . . . . . 12
43 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443oveq1d 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4643breq1d 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 46anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847cbvralv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ralbii 2373 . . . . . . . . . . . . 13
50 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 oveq2 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352oveq2d 5553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5451, 53breq12d 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5551, 52oveq12d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 56anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
5850, 57raleqbidv 2562 . . . . . . . . . . . . . 14
5958cbvralv 2578 . . . . . . . . . . . . 13
6049, 59bitri 182 . . . . . . . . . . . 12
6142, 60sylib 120 . . . . . . . . . . 11
6261ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10
63 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . 12
64 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . . 14
65 oveq2 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665oveq2d 5553 . . . . . . . . . . . . . 14
6764, 66breq12d 3800 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 65oveq12d 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
6968breq2d 3799 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12
7163, 70raleqbidv 2562 . . . . . . . . . . 11
7271rspcv 2698 . . . . . . . . . 10
736, 62, 72sylc 61 . . . . . . . . 9
74 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . 13
7574oveq1d 5552 . . . . . . . . . . . 12
7675breq2d 3799 . . . . . . . . . . 11
7774breq1d 3797 . . . . . . . . . . 11
7876, 77anbi12d 457 . . . . . . . . . 10
7978rspcv 2698 . . . . . . . . 9
8041, 73, 79sylc 61 . . . . . . . 8
8121oveq1d 5552 . . . . . . . . . 10
8281breq2d 3799 . . . . . . . . 9
8321breq1d 3797 . . . . . . . . 9
8482, 83anbi12d 457 . . . . . . . 8
8580, 84mpbird 165 . . . . . . 7
8612breq1d 3797 . . . . . . . 8
8712oveq1d 5552 . . . . . . . . 9
8887breq2d 3799 . . . . . . . 8
8986, 88anbi12d 457 . . . . . . 7
9085, 89mpbird 165 . . . . . 6
9190simpld 110 . . . . 5
925nnred 8108 . . . . . . . 8
931nnrpd 8842 . . . . . . . 8
94 cvg1nlem.start . . . . . . . . 9
9594ad2antrr 472 . . . . . . . 8
9625, 92, 93, 95ltmul1dd 8899 . . . . . . 7
976nncnd 8109 . . . . . . . . . 10
9897mulid2d 7188 . . . . . . . . 9
9998breq2d 3799 . . . . . . . 8
100 1red 7185 . . . . . . . . 9
1016nnrpd 8842 . . . . . . . . 9
10225, 93, 100, 101lt2mul2divd 8906 . . . . . . . 8
1031nncnd 8109 . . . . . . . . . 10
1045nncnd 8109 . . . . . . . . . 10
105103, 104mulcomd 7191 . . . . . . . . 9
106105breq2d 3799 . . . . . . . 8
10799, 102, 1063bitr3d 216 . . . . . . 7
10896, 107mpbird 165 . . . . . 6
10926, 28, 22, 108ltadd2dd 7582 . . . . 5
11013, 27, 29, 91, 109lttrd 7291 . . . 4
11113, 26readdcld 7199 . . . . 5
11213, 28readdcld 7199 . . . . 5
11390simprd 112 . . . . 5
11426, 28, 13, 108ltadd2dd 7582 . . . . 5
11522, 111, 112, 113, 114lttrd 7291 . . . 4
116110, 115jca 300 . . 3
117116ralrimiva 2435 . 2
118117ralrimiva 2435 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wral 2349   class class class wbr 3787   cmpt 3841  wf 4922  cfv 4926  (class class class)co 5537  cr 7031  c1 7033   caddc 7035   cmul 7037   clt 7204   cle 7205   cdiv 7816  cn 8095  cz 8421  cuz 8689  crp 8804 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805 This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9998
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