Theorem ddcanap 8479

Description: Cancellation in a double division. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ddcanap	|- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( A / ( A / B ) ) = B )

Proof of Theorem ddcanap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 518	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> A e. CC )
2		simprl 520	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> B e. CC )
3		simprr 521	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> B # 0 )
4		divcanap1 8434	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
6		divclap 8431	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. CC )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( A / B ) e. CC )
8		divap0 8437	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( A / B ) # 0 )
9		divmulap 8428	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( ( A / B ) e. CC /\ ( A / B ) # 0 ) ) -> ( ( A / ( A / B ) ) = B <-> ( ( A / B ) x. B ) = A ) )
10	1, 2, 7, 8, 9	syl112anc 1220	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / ( A / B ) ) = B <-> ( ( A / B ) x. B ) = A ) )
11	5, 10	mpbird 166	1 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( A / ( A / B ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   x. cmul 7618   # cap 8336   / cdiv 8425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426

This theorem is referenced by:  ddcanapd  8563