Theorem decaddc 8612

Description: Add two numerals M and N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decaddc.e	|- ( ( A + C ) + 1 ) = E
decaddc.f	|- F e. NN0
decaddc.2	|- ( B + D ) = ; 1 F

Assertion

Ref	Expression
decaddc	|- ( M + N ) = ; E F

Proof of Theorem decaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8575	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 8561	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2102	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 8561	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2102	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decaddc.f	. . 3 |- F e. NN0
13		decaddc.e	. . 3 |- ( ( A + C ) + 1 ) = E
14		decaddc.2	. . . 4 |- ( B + D ) = ; 1 F
15		dfdec10 8561	. . . 4 |- ; 1 F = ( (; 1 0 x. 1 ) + F )
16	14, 15	eqtri 2102	. . 3 |- ( B + D ) = ( (; 1 0 x. 1 ) + F )
17	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16	numaddc 8605	. 2 |- ( M + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
18		dfdec10 8561	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
19	17, 18	eqtr4i 2105	1 |- ( M + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5543   0cc0 7043   1c1 7044   + caddc 7046   x. cmul 7048   NN0cn0 8355  ;cdc 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-5 8168  df-6 8169  df-7 8170  df-8 8171  df-9 8172  df-n0 8356  df-dec 8559

This theorem is referenced by:  decaddc2  8613  decaddci  8618