ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  deccl Unicode version

Theorem deccl 8572
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 8559 . 2  |- ; A B  =  ( ( ( 9  +  1 )  x.  A
)  +  B )
2 9nn0 8379 . . . 4  |-  9  e.  NN0
3 1nn0 8371 . . . 4  |-  1  e.  NN0
42, 3nn0addcli 8392 . . 3  |-  ( 9  +  1 )  e. 
NN0
5 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
6 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
74, 5, 6numcl 8570 . 2  |-  ( ( ( 9  +  1 )  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
81, 7eqeltri 2152 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434  (class class class)co 5543   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048   9c9 8163   NN0cn0 8355  ;cdc 8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-5 8168  df-6 8169  df-7 8170  df-8 8171  df-9 8172  df-n0 8356  df-dec 8559
This theorem is referenced by:  10nn0  8575  3declth  8589  3decltc  8590  decleh  8592  sq10  9737  3dvds2dec  10410  1kp2ke3k  10713
  Copyright terms: Public domain W3C validator