ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decsucc Unicode version

Theorem decsucc 8467
Description: The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsucc.1  |-  A  e. 
NN0
decsucc.2  |-  ( A  +  1 )  =  B
decsucc.3  |-  N  = ; A
9
Assertion
Ref Expression
decsucc  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0

Proof of Theorem decsucc
StepHypRef Expression
1 9nn0 8263 . . 3  |-  9  e.  NN0
2 9p1e10 8429 . . . 4  |-  ( 9  +  1 )  = ; 1
0
32eqcomi 2060 . . 3  |- ; 1 0  =  ( 9  +  1 )
4 decsucc.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
5 decsucc.2 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  B
6 decsucc.3 . . . 4  |-  N  = ; A
9
7 dfdec10 8430 . . . 4  |- ; A 9  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
86, 7eqtri 2076 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  9 )
91, 3, 4, 5, 8numsucc 8466 . 2  |-  ( N  +  1 )  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
10 dfdec10 8430 . 2  |- ; B 0  =  ( (; 1 0  x.  B
)  +  0 )
119, 10eqtr4i 2079 1  |-  ( N  +  1 )  = ; B
0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1259    e. wcel 1409  (class class class)co 5540   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    x. cmul 6952   9c9 8047   NN0cn0 8239  ;cdc 8427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-sub 7247  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-5 8052  df-6 8053  df-7 8054  df-8 8055  df-9 8056  df-n0 8240  df-dec 8428
This theorem is referenced by:  sq10e99m1  9585
  Copyright terms: Public domain W3C validator