Theorem dfco2 4850

Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dfco2	|- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfco2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4849	. 2 |- Rel ( A o. B )
2		reliun 4486	. . 3 |- ( Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> A. x e. _V Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
3		relxp 4475	. . . 4 |- Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. _V -> Rel ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
5	2, 4	mprgbir 2422	. 2 |- Rel U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )
6		vex 2605	. . . 4 |- y e. _V
7		vex 2605	. . . 4 |- z e. _V
8		opelco2g 4531	. . . 4 |- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 417	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
10		eliun 3690	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
11		rexv 2618	. . . 4 |- ( E. x e. _V <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
12		opelxp 4400	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) )
13		vex 2605	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
14	13, 6	elimasn 4722	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. x , y >. e. `' B )
15	13, 6	opelcnv 4545	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
16	14, 15	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( y e. ( `' B " { x } ) <-> <. y , x >. e. B )
17	13, 7	elimasn 4722	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A " { x } ) <-> <. x , z >. e. A )
18	16, 17	anbi12i 448	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( `' B " { x } ) /\ z e. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
19	12, 18	bitri 182	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
20	19	exbii 1537	. . . 4 |- ( E. x <. y , z >. e. ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) <-> E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) )
21	10, 11, 20	3bitrri 205	. . 3 |- ( E. x ( <. y , x >. e. B /\ <. x , z >. e. A ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
22	9, 21	bitri 182	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) ) )
23	1, 5, 22	eqrelriiv 4460	1 |- ( A o. B ) = U_ x e. _V ( ( `' B " { x } ) X. ( A " { x } ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   {csn 3406   <.cop 3409   U_ciun 3686   X. cxp 4369   `'ccnv 4370   "cima 4374   o. ccom 4375   Rel wrel 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384

This theorem is referenced by:  dfco2a  4851