ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfco2 Unicode version

Theorem dfco2 4850
Description: Alternate definition of a class composition, using only one bound variable. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dfco2  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem dfco2
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4849 . 2  |-  Rel  ( A  o.  B )
2 reliun 4486 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  A. x  e.  _V  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
3 relxp 4475 . . . 4  |-  Rel  (
( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
43a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  Rel  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
52, 4mprgbir 2422 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )
6 vex 2605 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 vex 2605 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8 opelco2g 4531 . . . 4  |-  ( ( y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. y ,  z
>.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) ) )
96, 7, 8mp2an 417 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. x ( <.
y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
10 eliun 3690 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x  e.  _V  <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
11 rexv 2618 . . . 4  |-  ( E. x  e.  _V  <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  E. x <. y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) ) )
12 opelxp 4400 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " { x } ) ) )
13 vex 2605 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1413, 6elimasn 4722 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' B )
1513, 6opelcnv 4545 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1614, 15bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( `' B " { x } )  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1713, 7elimasn 4722 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A " { x } )  <->  <. x ,  z >.  e.  A )
1816, 17anbi12i 448 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( `' B " { x } )  /\  z  e.  ( A " {
x } ) )  <-> 
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
1912, 18bitri 182 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
2019exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. x <. y ,  z
>.  e.  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) )  <->  E. x
( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z >.  e.  A
) )
2110, 11, 203bitrri 205 . . 3  |-  ( E. x ( <. y ,  x >.  e.  B  /\  <. x ,  z
>.  e.  A )  <->  <. y ,  z >.  e.  U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
229, 21bitri 182 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e. 
_V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x }
) ) )
231, 5, 22eqrelriiv 4460 1  |-  ( A  o.  B )  = 
U_ x  e.  _V  ( ( `' B " { x } )  X.  ( A " { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   _Vcvv 2602   {csn 3406   <.cop 3409   U_ciun 3686    X. cxp 4369   `'ccnv 4370   "cima 4374    o. ccom 4375   Rel wrel 4376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384
This theorem is referenced by:  dfco2a  4851
  Copyright terms: Public domain W3C validator