ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im Unicode version

Theorem dff3im 5338
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5083 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5073 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5075 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2149 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 291 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5305 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 3788 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 funfvex 5217 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
12 breq2 3791 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1312spcegv 2687 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (
x F ( F `
 x )  ->  E. y  x F
y ) )
1411, 13syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y ) )
153, 6, 14syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y ) )
1610, 15mpd 13 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
17 funmo 4941 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
182, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1918adantr 270 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
20 eu5 1989 . . . 4  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
2116, 19, 20sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2221ralrimiva 2435 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
231, 22jca 300 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   E.wex 1422    e. wcel 1434   E!weu 1942   E*wmo 1943   A.wral 2349   _Vcvv 2602    C_ wss 2974   <.cop 3403   class class class wbr 3787    X. cxp 4363   dom cdm 4365   Fun wfun 4920   -->wf 4922   ` cfv 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934
This theorem is referenced by:  dff4im  5339
  Copyright terms: Public domain W3C validator