ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff4im Unicode version

Theorem dff4im 5366
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff4im  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff4im
StepHypRef Expression
1 dff3im 5365 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
2 df-br 3807 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
3 ssel 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
4 opelxp2 4425 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  y  e.  B )
53, 4syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
62, 5syl5bi 150 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  -> 
y  e.  B ) )
76pm4.71rd 386 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  <->  ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
87eubidv 1951 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
9 df-reu 2360 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  x F y  <->  E! y
( y  e.  B  /\  x F y ) )
108, 9syl6bbr 196 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  e.  B  x F y ) )
1110ralbidv 2373 . . 3  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
1211pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  <-> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
131, 12sylib 120 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   E!weu 1943   A.wral 2353   E!wreu 2355    C_ wss 2983   <.cop 3420   class class class wbr 3806    X. cxp 4390   -->wf 4949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-v 2612  df-sbc 2826  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator