ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffo5 Unicode version

Theorem dffo5 5344
Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dffo5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dffo5
StepHypRef Expression
1 dffo4 5343 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y ) )
2 rexex 2385 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x F y  ->  E. x  x F y )
32ralimi 2401 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  x F y )
43anim2i 328 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  -> 
( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
5 ffn 5074 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
6 fnbr 5029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x F y )  ->  x  e.  A )
76ex 112 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
85, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  x  e.  A
) )
98ancrd 313 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  ( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
109eximdv 1776 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
11 df-rex 2329 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
1210, 11syl6ibr 155 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x  e.  A  x F
y ) )
1312ralimdv 2405 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. y  e.  B  E. x  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
1413imdistani 427 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y )  ->  ( F : A
--> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
154, 14impbii 121 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
161, 15bitri 177 1  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102   E.wex 1397    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   class class class wbr 3792    Fn wfn 4925   -->wf 4926   -onto->wfo 4928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fo 4936  df-fv 4938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator