ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffo5 Unicode version

Theorem dffo5 5537
Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dffo5  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dffo5
StepHypRef Expression
1 dffo4 5536 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y ) )
2 rexex 2456 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x F y  ->  E. x  x F y )
32ralimi 2472 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  x F y )
43anim2i 339 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  -> 
( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
5 ffn 5242 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
6 fnbr 5195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x F y )  ->  x  e.  A )
76ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
85, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  x  e.  A
) )
98ancrd 324 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  -> 
( x F y  ->  ( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
109eximdv 1836 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) ) )
11 df-rex 2399 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  x F y  <->  E. x
( x  e.  A  /\  x F y ) )
1210, 11syl6ibr 161 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( E. x  x F y  ->  E. x  e.  A  x F
y ) )
1312ralimdv 2477 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. y  e.  B  E. x  x F y  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
1413imdistani 441 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y )  ->  ( F : A
--> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F
y ) )
154, 14impbii 125 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  e.  A  x F y )  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
161, 15bitri 183 1  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. y  e.  B  E. x  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   class class class wbr 3899    Fn wfn 5088   -->wf 5089   -onto->wfo 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fo 5099  df-fv 5101
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator