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Theorem dffun4f 4948
Description: Definition of function like dffun4 4943 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dffun4f.1  |-  F/_ x A
dffun4f.2  |-  F/_ y A
dffun4f.3  |-  F/_ z A
Assertion
Ref Expression
dffun4f  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun4f.1 . . 3  |-  F/_ x A
2 dffun4f.2 . . 3  |-  F/_ y A
31, 2dffun6f 4945 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y ) )
4 nfcv 2220 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
5 nfcv 2220 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
64, 2, 5nfbr 3837 . . . . . 6  |-  F/ y  x A w
7 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
x A y  <->  x A w ) )
86, 7mo4f 2002 . . . . 5  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
9 nfv 1462 . . . . . . 7  |-  F/ w
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )
10 nfcv 2220 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
x
11 dffun4f.3 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z A
12 nfcv 2220 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
y
1310, 11, 12nfbr 3837 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A y
14 nfcv 2220 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
w
1510, 11, 14nfbr 3837 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  x A w
1613, 15nfan 1498 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( x A y  /\  x A w )
17 nfv 1462 . . . . . . . 8  |-  F/ z  y  =  w
1816, 17nfim 1505 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w )
19 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x A z  <->  x A w ) )
2019anbi2d 452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x A y  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A w ) ) )
21 equequ2 1640 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
y  =  z  <->  y  =  w ) )
2220, 21imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) ) )
239, 18, 22cbval 1678 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w ( ( x A y  /\  x A w )  -> 
y  =  w ) )
2423albii 1400 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. w ( ( x A y  /\  x A w )  ->  y  =  w ) )
258, 24bitr4i 185 . . . 4  |-  ( E* y  x A y  <->  A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2625albii 1400 . . 3  |-  ( A. x E* y  x A y  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
2726anbi2i 445 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E* y  x A y )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
28 df-br 3794 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
29 df-br 3794 . . . . . . 7  |-  ( x A z  <->  <. x ,  z >.  e.  A
)
3028, 29anbi12i 448 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  /\  x A z )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
3130imbi1i 236 . . . . 5  |-  ( ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
32312albii 1401 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3332albii 1400 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
3433anbi2i 445 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )  <-> 
( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
353, 27, 343bitri 204 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    e. wcel 1434   E*wmo 1943   F/_wnfc 2207   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Rel wrel 4376   Fun wfun 4926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-cnv 4379  df-co 4380  df-fun 4934
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