Theorem dffun4f 4948

Description: Definition of function like dffun4 4943 but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dffun4f.1	|- F/_ x A
dffun4f.2	|- F/_ y A
dffun4f.3	|- F/_ z A

Assertion

Ref	Expression
dffun4f	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem dffun4f

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4f.1	. . 3 |- F/_ x A
2		dffun4f.2	. . 3 |- F/_ y A
3	1, 2	dffun6f 4945	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) )
4		nfcv 2220	. . . . . . 7 |- F/_ y x
5		nfcv 2220	. . . . . . 7 |- F/_ y w
6	4, 2, 5	nfbr 3837	. . . . . 6 |- F/ y x A w
7		breq2 3797	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
8	6, 7	mo4f 2002	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
9		nfv 1462	. . . . . . 7 |- F/ w ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z )
10		nfcv 2220	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
11		dffun4f.3	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z A
12		nfcv 2220	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z y
13	10, 11, 12	nfbr 3837	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A y
14		nfcv 2220	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z w
15	10, 11, 14	nfbr 3837	. . . . . . . . 9 |- F/ z x A w
16	13, 15	nfan 1498	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x A y /\ x A w )
17		nfv 1462	. . . . . . . 8 |- F/ z y = w
18	16, 17	nfim 1505	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w )
19		breq2 3797	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( x A z <-> x A w ) )
20	19	anbi2d 452	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A w ) ) )
21		equequ2 1640	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( y = z <-> y = w ) )
22	20, 21	imbi12d 232	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) ) )
23	9, 18, 22	cbval 1678	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
24	23	albii 1400	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. w ( ( x A y /\ x A w ) -> y = w ) )
25	8, 24	bitr4i 185	. . . 4 |- ( E* y x A y <-> A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
26	25	albii 1400	. . 3 |- ( A. x E* y x A y <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
27	26	anbi2i 445	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
28		df-br 3794	. . . . . . 7 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
29		df-br 3794	. . . . . . 7 |- ( x A z <-> <. x , z >. e. A )
30	28, 29	anbi12i 448	. . . . . 6 |- ( ( x A y /\ x A z ) <-> ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) )
31	30	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
32	31	2albii 1401	. . . 4 |- ( A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
33	32	albii 1400	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
34	33	anbi2i 445	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
35	3, 27, 34	3bitri 204	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1283   e. wcel 1434   E*wmo 1943   F/_wnfc 2207   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Rel wrel 4376   Fun wfun 4926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-cnv 4379  df-co 4380  df-fun 4934

This theorem is referenced by: (None)