ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffun5r Unicode version

Theorem dffun5r 4938
Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 1994. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dffun5r  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  Fun  A )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r
StepHypRef Expression
1 nfv 1462 . . . . . 6  |-  F/ z
<. x ,  y >.  e.  A
21mo2r 1994 . . . . 5  |-  ( E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  E* y <. x ,  y
>.  e.  A )
3 opeq2 3573 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  z >. )
43eleq1d 2148 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
54mo4 2003 . . . . 5  |-  ( E* y <. x ,  y
>.  e.  A  <->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
62, 5sylib 120 . . . 4  |-  ( E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
76alimi 1385 . . 3  |-  ( A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
87anim2i 334 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
9 dffun4 4937 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
108, 9sylibr 132 1  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  Fun  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1283   E.wex 1422    e. wcel 1434   E*wmo 1943   <.cop 3403   Rel wrel 4370   Fun wfun 4920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-cnv 4373  df-co 4374  df-fun 4928
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator