Theorem dffun8 5151

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 5150. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5150	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		df-mo 2003	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> ( E. y x A y -> E! y x A y ) )
3		vex 2689	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 4736	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
5		pm5.5 241	. . . . . 6 |- ( E. y x A y -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . 5 |- ( x e. dom A -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
7	2, 6	syl5bb 191	. . . 4 |- ( x e. dom A -> ( E* y x A y <-> E! y x A y ) )
8	7	ralbiia 2449	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E! y x A y )
9	8	anbi2i 452	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
10	1, 9	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1999   E*wmo 2000   A.wral 2416   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  funco  5163  funimaexglem  5206  funfveu  5434