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Theorem dfiin2g 3719
Description: Alternate definition of indexed intersection when  B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
dfiin2g  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2354 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  w  e.  B  <->  A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B ) )
2 df-ral 2354 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  <->  A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C ) )
3 eleq2 2143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  B ) )
43biimprcd 158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)
54alrimiv 1796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) )
6 eqid 2082 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  B
7 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  B  ->  (
z  =  B  <->  B  =  B ) )
87, 3imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  B  ->  (
( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( B  =  B  ->  w  e.  B ) ) )
98spcgv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z )  ->  ( B  =  B  ->  w  e.  B ) ) )
106, 9mpii 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z )  ->  w  e.  B ) )
115, 10impbid2 141 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  C  ->  (
w  e.  B  <->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
1211imim2i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  B  <->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1312pm5.74d 180 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1413alimi 1385 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  A. x
( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
15 albi 1398 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  B  e.  C )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
172, 16sylbi 119 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. z ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) ) )
18 df-ral 2354 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
1918albii 1400 . . . . . . 7  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. z A. x
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
20 alcom 1408 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. z ( x  e.  A  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)  <->  A. z A. x
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
2119, 20bitr4i 185 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. x A. z
( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
22 r19.23v 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  w  e.  z ) )
23 vex 2605 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
24 eqeq1 2088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  B  <->  z  =  B ) )
2524rexbidv 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x  e.  A  z  =  B ) )
2623, 25elab 2739 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. x  e.  A  z  =  B )
2726imbi1i 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  w  e.  z ) )
2822, 27bitr4i 185 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
2928albii 1400 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x  e.  A  ( z  =  B  ->  w  e.  z )  <->  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
30 19.21v 1795 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  w  e.  z ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
3130albii 1400 . . . . . 6  |-  ( A. x A. z ( x  e.  A  ->  (
z  =  B  ->  w  e.  z )
)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) ) )
3221, 29, 313bitr3ri 209 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. z
( z  =  B  ->  w  e.  z ) )  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) )
3317, 32syl6bb 194 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  A. z
( z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) ) )
341, 33syl5bb 190 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  w  e.  B  <->  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) ) )
3534abbidv 2197 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  { w  |  A. x  e.  A  w  e.  B }  =  { w  |  A. z ( z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) } )
36 df-iin 3689 . 2  |-  |^|_ x  e.  A  B  =  { w  |  A. x  e.  A  w  e.  B }
37 df-int 3645 . 2  |-  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  =  { w  |  A. z ( z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  w  e.  z ) }
3835, 36, 373eqtr4g 2139 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2068   A.wral 2349   E.wrex 2350   |^|cint 3644   |^|_ciin 3687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-int 3645  df-iin 3689
This theorem is referenced by:  dfiin2  3721  iinexgm  3937  dfiin3g  4618  fniinfv  5263
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